📐 高中数学知识与教程（完整版） / 百科 / Yicool 易酷

一、集合与常用逻辑用语

1.1 集合的基本概念

集合是数学中最基本的概念之一，指具有某种特定性质的事物的总体。集合中的每一个事物称为该集合的元素。

集合的特征：

确定性：集合中的元素必须是确定的，不能模棱两可
互异性：集合中的元素互不相同（同一个元素不能重复出现）
无序性：集合中的元素没有先后顺序

集合的表示方法：

列举法：将元素一一列出，如 A = {1, 2, 3, 4, 5}
描述法：用元素的共同特征表示，如 B = {x | x² - 1 = 0}
图示法：用 Venn 图表示集合间的关系
区间表示法：连续数集可用区间表示，如 (0,1]、[-2,3)

常用数集符号：

N — 自然数集（非负整数集）：{0, 1, 2, 3, ...}

N* 或 N₊ — 正整数集：{1, 2, 3, ...}

Z — 整数集：{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Q — 有理数集

R — 实数集

C — 复数集

区间的表示：

闭区间 [a,b] = {x | a ≤ x ≤ b}

开区间 (a,b) = {x | a < x < b>

半开区间 [a,b) = {x | a ≤ x < b}，(a,b] = {x | a < x ≤ b}

无穷区间 [a,+∞)、(-∞,b)、(-∞,+∞) = R

1.2 集合间的关系

子集：

若集合 A 中的每一个元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B（或 B ⊇ A）。

真子集：

若 A ⊆ B 且 A ≠ B（即 B 中至少有一个元素不在 A 中），则称 A 是 B 的真子集，记作 A ⊊ B。

集合相等：

若 A ⊆ B 且 B ⊆ A，则 A = B。即两个集合的元素完全相同。

空集：

💡 重要性质

∅ 是任何集合的子集：∅ ⊆ A（对任意集合 A）

∅ 是任何非空集合的真子集：∅ ⊊ A（A ≠ ∅）

子集个数公式：

若集合 A 有 n 个元素，则：

子集个数 = 2ⁿ

真子集个数 = 2ⁿ - 1

非空子集个数 = 2ⁿ - 1

非空真子集个数 = 2ⁿ - 2

1.3 集合的运算

交集：

A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}

性质：A ∩ A = A，A ∩ ∅ = ∅，A ∩ B = B ∩ A，A ∩ B ⊆ A，A ∩ B ⊆ B

并集：

A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}

性质：A ∪ A = A，A ∪ ∅ = A，A ∪ B = B ∪ A，A ⊆ A ∪ B，B ⊆ A ∪ B

补集（全集 U）：

∁ᵤA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}

性质：A ∪ ∁ᵤA = U，A ∩ ∁ᵤA = ∅，∁ᵤ(∁ᵤA) = A，∁ᵤU = ∅，∁ᵤ∅ = U

德摩根定律：

∁ᵤ(A ∩ B) = (∁ᵤA) ∪ (∁ᵤB)（交的补等于补的并）

∁ᵤ(A ∪ B) = (∁ᵤA) ∩ (∁ᵤB)（并的补等于补的交）

容斥原理：

card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B)

card(A ∪ B ∪ C) = card(A) + card(B) + card(C) - card(A∩B) - card(B∩C) - card(A∩C) + card(A∩B∩C)

1.4 常用逻辑用语

命题及其关系：

原命题：若 p，则 q
逆命题：若 q，则 p
否命题：若 ¬p，则 ¬q
逆否命题：若 ¬q，则 ¬p

💡 重要结论

原命题与逆否命题等价（同真同假）；逆命题与否命题等价。

原命题与逆命题、原命题与否命题的真假性无必然联系。

充分条件与必要条件：

充分不必要条件：p → q 但 q ↛ p
必要不充分条件：q → p 但 p ↛ q
充要条件：p ↔ q（p 与 q 等价）
既不充分也不必要条件：p ↛ q 且 q ↛ p

⚠️ 易错点

判断充分性、必要性时，注意是谁推谁。"p 是 q 的什么条件" 即判断 p → q 和 q → p。

全称量词与存在量词：

全称命题：∀x ∈ M, p(x)（对 M 中所有 x，p(x) 成立）

特称命题：∃x₀ ∈ M, p(x₀)（存在 M 中的 x₀，使 p(x₀) 成立）

否定形式：

¬(∀x ∈ M, p(x)) = ∃x₀ ∈ M, ¬p(x₀)

¬(∃x₀ ∈ M, p(x₀)) = ∀x ∈ M, ¬p(x)

逻辑联结词：

"且" (∧)：p∧q 为真 ⟺ p 真且 q 真
"或" (∨)：p∨q 为假 ⟺ p 假且 q 假
"非" (¬)：¬p 与 p 真假相反

📝 例题

已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | x² - ax + a - 1 = 0}，若 A ∪ B = A，求 a 的取值范围。

解：A = {1, 2}，因为 A ∪ B = A，所以 B ⊆ A。

B 的方程 x² - ax + (a-1) = 0 可分解为 (x-1)(x-(a-1)) = 0，

所以 B 的元素为 1 和 a-1。

① B = {1}（两根相同）：a-1 = 1，a = 2，此时 B = {1} ⊆ A ✓

② B = {2}：1 = 2（不成立）

③ B = {1,2}：a-1 = 2，a = 3，此时 B = {1,2} = A ⊆ A ✓

④ B = ∅：判别式 Δ < 0，a² - 4(a-1) < 0，a² - 4a + 4 < 0，(a-2)² < 0，无解。

∴ a = 2 或 a = 3。

📝 例题（充要条件）

判断："x > 1" 是 "x² > 1" 的什么条件？

解：

x > 1 → x² > 1 ✓（充分性成立）

x² > 1 → x > 1 或 x < -1，所以 x² > 1 ↛ x > 1 ✗（必要性不成立）

∴ "x > 1" 是 "x² > 1" 的充分不必要条件。

二、函数

2.1 函数的概念

设 A、B 是两个非空数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，则称 f: A → B 为从 A 到 B 的一个函数，记作 y = f(x)，x ∈ A。

函数的三要素：

定义域：自变量 x 的取值范围
值域：函数值 y 的取值范围
对应法则：x 与 y 之间的对应关系 f

💡 两个函数相等的条件

定义域相同，且对应法则相同（值域自然相同）。

求定义域的常见规则：

① 分母不为 0

② 偶次根号下 ≥ 0

③ 对数的真数 > 0

④ 对数的底数 > 0 且 ≠ 1

⑤ tan x 中 x ≠ π/2 + kπ

⑥ x⁰ 中 x ≠ 0

⑦ 实际问题中的隐含条件（如边长 > 0）

求值域的方法：

观察法：简单函数直接观察
配方法：二次函数通过配方求最值
判别式法：将 y = f(x) 变形为关于 x 的方程，利用 Δ ≥ 0
换元法：令 t = g(x)，转化为关于 t 的函数
单调性法：利用函数单调性求最值
导数法：利用导数求极值和最值
不等式法：利用基本不等式
数形结合法：利用函数图像

2.2 函数的基本性质

（1）单调性

设函数 f(x) 在区间 D 上有定义，对于 D 上任意两个值 x₁, x₂，当 x₁ < x₂ 时：

若 f(x₁) < f(x₂)，则 f(x) 在 D 上为增函数（单调递增）
若 f(x₁) > f(x₂)，则 f(x) 在 D 上为减函数（单调递减）

💡 判断单调性的方法

①

定义法：

取值→作差→变形→判号→结论

②

导数法：

f'(x) > 0 则增，f'(x) < 0 则减

③

复合函数法：

"同增异减"（内外层单调性相同则增，相反则减）

④

图像法：

观察函数图像的升降趋势

⚠️ 注意

单调区间不能取并集！例如 y = 1/x 在 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上分别递减，但不能说在 (-∞,0)∪(0,+∞) 上递减。

（2）奇偶性

设函数 f(x) 的定义域关于原点对称（这是奇偶性的必要条件）：

偶函数：对于定义域内的任意 x，都有 f(-x) = f(x)。图像关于 y 轴对称。
奇函数：对于定义域内的任意 x，都有 f(-x) = -f(x)。图像关于原点对称。若 0 在定义域内，则 f(0) = 0。

奇偶性的判断方法：

检查定义域是否关于原点对称
比较 f(-x) 与 f(x)、-f(x) 的关系
或计算 f(x) + f(-x) 和 f(x) - f(-x)

常见奇偶函数：

奇函数：y = x, y = x³, y = 1/x, y = sin x, y = tan x

偶函数：y = x², y = |x|, y = cos x, y = x²ⁿ

非奇非偶：y = x² + x, y = sin x + cos x

既奇又偶：y = 0（定义域关于原点对称时）

（3）周期性

若存在非零常数 T，使得对定义域内的任意 x，都有 f(x + T) = f(x)，则 f(x) 是周期函数，T 为其周期。最小正周期称为基本周期。

常见周期性的推导结论（设 a > 0）：

① f(x + a) = -f(x) ⟹ T = 2a

② f(x + a) = 1/f(x) ⟹ T = 2a

③ f(x + a) = -1/f(x) ⟹ T = 2a

④ f(x + a) = (1+f(x))/(1-f(x)) ⟹ T = 4a

⑤ f(x) 关于 x = a 和 x = b 对称 ⟹ T = 2|b-a|

⑥ f(x) 关于 x = a 对称且关于 (b,0) 中心对称 ⟹ T = 4|b-a|

（4）对称性

关于 x = a 对称：f(a + x) = f(a - x) 或 f(x) = f(2a - x)

关于点 (a, 0) 对称：f(a + x) = -f(a - x) 或 f(x) + f(2a - x) = 0

关于点 (a, b) 对称：f(a + x) + f(a - x) = 2b

关于点 (a, b) 对称：f(x) + f(2a - x) = 2b

对称性与周期性的关系：

若 f(x) 有两条对称轴 x = a 和 x = b（a ≠ b），则 T = 2|b-a|

若 f(x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0)（a ≠ b），则 T = 2|b-a|

若 f(x) 有一条对称轴 x = a 和一个对称中心 (b,0)（a ≠ b），则 T = 4|b-a|

2.3 函数的图像变换

平移变换：

f(x) → f(x + a)：左移 a 个单位（a > 0）

f(x) → f(x - a)：右移 a 个单位（a > 0）

f(x) → f(x) + b：上移 b 个单位（b > 0）

f(x) → f(x) - b：下移 b 个单位（b > 0）

口诀："左加右减，上加下减"

对称变换：

f(x) → f(-x)：关于 y 轴对称

f(x) → -f(x)：关于 x 轴对称

f(x) → -f(-x)：关于原点对称

f(x) → f⁻¹(x)：关于 y = x 对称

f(x) → |f(x)|：将 x 轴下方的图像翻折到上方

f(x) → f(|x|)：保留 y 轴右侧图像，去掉左侧，再关于 y 轴对称复制

伸缩变换：

f(x) → f(ωx)（ω > 0）：横坐标变为原来的 1/ω 倍

f(x) → Af(x)（A > 0）：纵坐标变为原来的 A 倍

2.4 基本初等函数

（1）一次函数

f(x) = kx + b（k ≠ 0）

图像为直线，k > 0 时递增，k < 0 时递减。k 为斜率，b 为截距。

（2）二次函数

一般式：f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）

顶点式：f(x) = a(x - h)² + k，顶点 (h, k)

其中 h = -b/(2a)，k = (4ac - b²)/(4a)

两根式：f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)（有两实根时）

对称轴：x = -b/(2a)

a > 0 开口向上，a < 0 开口向下。|a| 越大开口越小（图像越"窄"）。

二次函数在闭区间上的最值：

需要讨论对称轴与区间的相对位置关系：

对称轴在区间左侧：端点取最值
对称轴在区间内：顶点取最值，再比较两端点
对称轴在区间右侧：端点取最值

二次函数与方程、不等式的关系：

设 f(x) = ax² + bx + c（a > 0），Δ = b² - 4ac：

Δ > 0（两根 x₁ < x₂）：

f(x) > 0 的解集：{x | x < x₁ 或 x > x₂}

f(x) < 0 的解集：{x | x₁ < x < x₂}

Δ = 0（重根 x₀ = -b/(2a)）：

f(x) > 0 的解集：{x | x ≠ x₀}

f(x) < 0 的解集：∅

Δ < 0（无实根）：

f(x) > 0 的解集：R

f(x) < 0 的解集：∅

韦达定理（根与系数的关系）：

若 ax² + bx + c = 0 的两根为 x₁, x₂：

x₁ + x₂ = -b/a

x₁ · x₂ = c/a

（3）幂函数

f(x) = xᵅ（α 为常数）

常见幂函数：y = x, y = x², y = x³, y = x^(1/2) = √x, y = x⁻¹ = 1/x

幂函数的性质：

所有幂函数都过点 (1, 1)
α > 0 时：过原点，在 (0,+∞) 上递增
α < 0 时：不过原点，在 (0,+∞) 上递减，x→0 时 y→∞（渐近线 x=0, y=0）
α 为正偶数时：定义域 R，为偶函数
α 为正奇数时：定义域 R，为奇函数

2.5 分段函数与复合函数

分段函数：

在自变量的不同取值范围内，用不同的表达式表示的函数。注意：分段函数是一个函数，不是多个函数。

例如：f(x) = { x² + 1, x ≥ 0

{ -x + 1, x < 0

复合函数：

y = f(g(x))，其中 u = g(x) 为内层函数，y = f(u) 为外层函数。

💡 复合函数的单调性："同增异减"

内外层单调性相同 → 复合函数递增

内外层单调性相反 → 复合函数递减

2.6 反函数

若函数 y = f(x) 存在反函数，则反函数为 x = f⁻¹(y)，通常写成 y = f⁻¹(x)。

反函数的性质：

原函数与反函数的图像关于直线 y = x 对称
原函数的定义域 = 反函数的值域
原函数的值域 = 反函数的定义域
若 f(a) = b，则 f⁻¹(b) = a
单调函数一定有反函数

常见反函数：

y = eˣ 的反函数：y = ln x

y = aˣ 的反函数：y = logₐx

y = sin x（x∈[-π/2,π/2]）的反函数：y = arcsin x

y = x³ 的反函数：y = x^(1/3)

📝 例题（函数性质综合）

已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f(x+2) = -f(x)，当 0 ≤ x ≤ 1 时，f(x) = x，求 f(7.5)。

解：由 f(x+2) = -f(x)，得 f(x+4) = -f(x+2) = -(-f(x)) = f(x)，所以 T = 4。

f(7.5) = f(7.5 - 8) = f(-0.5) = -f(0.5) = -0.5

📝 例题（定义域与值域）

求函数 f(x) = √(x² - 2x + 5) 的值域。

解：x² - 2x + 5 = (x-1)² + 4 ≥ 4

∴ f(x) = √((x-1)² + 4) ≥ √4 = 2

当 x = 1 时取等号，∴ 值域为 [2, +∞)。

📝 例题（复合函数单调性）

求 f(x) = log₂(x² - 4x + 5) 的单调区间。

解：令 u = x² - 4x + 5 = (x-2)² + 1 > 0（恒成立），定义域为 R。

外层 y = log₂u 为增函数。

内层 u = (x-2)² + 1 在 (-∞,2) 上递减，在 (2,+∞) 上递增。

由"同增异减"：f(x) 在 (-∞,2) 上递减，在 (2,+∞) 上递增。

📝 例题（抽象函数）

已知 f(x+y) = f(x) + f(y)，且 f(1) = 2，求 f(5)。

解：令 x = y = 0：f(0) = f(0) + f(0)，∴ f(0) = 0

令 y = -x：f(0) = f(x) + f(-x)，∴ f(-x) = -f(x)（奇函数）

f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 4

f(5) = f(1) + f(4) = f(1) + f(2) + f(2) = 2 + 4 + 4 = 10

（实际上 f(x) = 2x 满足条件，f(5) = 10）

三、指数函数与对数函数

3.1 指数与指数运算

指数运算法则：

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ（a ≠ 0）

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ

a⁰ = 1（a ≠ 0）

a⁻ⁿ = 1/aⁿ（a ≠ 0）

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)（a > 0, n ∈ N*, n > 1）

a^(-m/n) = 1/ⁿ√(aᵐ)（a > 0）

n 次方根：

ⁿ√(aⁿ) = a（n 为奇数）

ⁿ√(aⁿ) = |a|（n 为偶数）

(ⁿ√a)ⁿ = a（a 在定义域内）

3.2 指数函数

f(x) = aˣ（a > 0 且 a ≠ 1）

性质：

定义域：R；值域：(0, +∞)
过定点：(0, 1)——即 a⁰ = 1
a > 1 时：在 R 上单调递增，x→+∞ 时 y→+∞，x→-∞ 时 y→0
0 < a < 1 时：在 R 上单调递减，x→+∞ 时 y→0，x→-∞ 时 y→+∞
函数值恒为正（y > 0）
底数越大（a>1），图像在第一象限越高（x>0时）

指数方程与不等式：

aᵐ = aⁿ ⟺ m = n（a > 0, a ≠ 1）

a > 1 时：aᵐ > aⁿ ⟺ m > n

0 < a < 1 时：aᵐ > aⁿ ⟺ m < n

3.3 对数

对数的定义：

如果 aᵇ = N（a > 0, a ≠ 1），那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 b = logₐN。其中 a 为底数，N 为真数（N > 0）。

常用对数与自然对数：

lg N = log₁₀N（常用对数）

ln N = logₑN（自然对数，e ≈ 2.71828）

对数运算法则：

logₐ(MN) = logₐM + logₐN

logₐ(M/N) = logₐM - logₐN

logₐ(Mⁿ) = n · logₐM

logₐ(ⁿ√M) = (1/n) · logₐM

换底公式：logₐb = logcb / logca = lnb / lna

重要推论：

logₐb · log₆a = 1

logₐb · log₆c · logₓa = logₓc（链式法则）

logₐⁿb = (1/n)logₐb

logₐⁿbᵐ = (m/n)logₐb

对数恒等式：

a^(logₐN) = N

logₐa = 1

logₐ1 = 0

3.4 对数函数

f(x) = logₐx（a > 0 且 a ≠ 1）

性质：

定义域：(0, +∞)；值域：R
过定点：(1, 0)——即 logₐ1 = 0
a > 1 时：在 (0, +∞) 上单调递增
0 < a < 1 时：在 (0, +∞) 上单调递减
底数 a > 1 时，a 越大在第一象限越靠近 x 轴

3.5 指数函数与对数函数的关系

💡 互为反函数

y = aˣ 与 y = logₐx 互为反函数，图像关于直线 y = x 对称。

它们的单调性相同（a>1时都递增，0

比较大小方法： 比较指数大小：利用指数函数单调性或与1比较比较对数大小： ① 同底：利用单调性 ② 不同底：换底或引入中间值（0、1等） ③ 同真数不同底：利用 logₐb = 1/log_ba 指数、对数方程： 指数方程：取对数法、换元法对数方程：化为指数法、换元法注意：解对数方程时要检验真数 > 0！ 📝 例题（指数运算）化简：(a^(2/3) · b^(1/2)) · (a^(1/3) · b^(1/2)) ÷ (a · b) 解：= a^(2/3 + 1/3 - 1) · b^(1/2 + 1/2 - 1) = a⁰ · b⁰ = 1 📝 例题（对数运算）计算：lg25 + lg4 + 7^(log₇2) 解：= lg(25×4) + 2 = lg100 + 2 = 2 + 2 = 4 📝 例题（比较大小）比较大小：log₂3、log₃2、log₂5 解：log₂3 > log₂2 = 1，log₂5 > log₂4 = 2 > log₂3 log₃2 < log₃3 = 1 ∴ log₃2 < log₂3 < log₂5 📝 例题（解方程）解方程：log₂(x+1) + log₂(x-1) = 3 解：log₂[(x+1)(x-1)] = 3 (x+1)(x-1) = 2³ = 8 x² - 1 = 8，x² = 9，x = 3 或 x = -3 检验真数：x+1 > 0 且 x-1 > 0，即 x > 1 ∴ x = 3（x = -3 舍去） 📝 例题（指数方程）解方程：4ˣ - 3·2ˣ - 4 = 0 解：令 t = 2ˣ > 0，则 4ˣ = t² t² - 3t - 4 = 0 (t-4)(t+1) = 0，t = 4 或 t = -1（舍去） 2ˣ = 4，x = 2 📝 例题（函数综合）已知 f(x) = lg(x² - 2x + a)，若 f(x) 的值域为 R，求 a 的范围。解：要使值域为 R，需要 x² - 2x + a 能取到所有正数。即 x² - 2x + a 的最小值 ≤ 0 x² - 2x + a = (x-1)² + a - 1，最小值为 a - 1 ∴ a - 1 ≤ 0，即 a ≤ 1 ⚠️ 易错提醒 "值域为 R" 与 "定义域为 R" 不同！若要求定义域为 R，则需要 x²-2x+a > 0 恒成立，Δ < 0，即 a > 1。

四、不等式

4.1 不等式的基本性质

① a > b ⟺ a - b > 0（作差法）

② a > b, b > c ⟹ a > c（传递性）

③ a > b ⟹ a + c > b + c（可加性）

④ a > b, c > 0 ⟹ ac > bc

⑤ a > b, c < 0 ⟹ ac < bc（乘以负数变号）

⑥ a > b > 0, c > d > 0 ⟹ ac > bd

⑦ a > b > 0, n ∈ N*, n > 1 ⟹ aⁿ > bⁿ, ⁿ√a > ⁿ√b

⑧ a > b ⟹ a + c > b + d（需要 c > d 配合）

4.2 一元二次不等式

形如 ax² + bx + c > 0（或 < 0, ≥ 0, ≤ 0）的不等式（a ≠ 0）。

解题步骤（a > 0 时）：

化为标准形式（a > 0）
计算判别式 Δ = b² - 4ac
求方程 ax² + bx + c = 0 的根
根据 Δ 的值确定解集

Δ > 0（两根 x₁ < x₂）：

ax² + bx + c > 0 的解集：{x | x < x₁ 或 x > x₂}

ax² + bx + c < 0 的解集：{x | x₁ < x < x₂}

口诀："大于取两边，小于取中间"

Δ = 0（重根 x₀ = -b/(2a)）：

ax² + bx + c > 0 的解集：{x | x ≠ x₀}

ax² + bx + c ≥ 0 的解集：R

ax² + bx + c < 0 的解集：∅

Δ < 0（无实根）：

ax² + bx + c > 0 的解集：R

ax² + bx + c < 0 的解集：∅

含参不等式：

需要对参数进行分类讨论，常见的讨论对象：

二次项系数是否为 0
判别式 Δ 的符号
两根的大小关系
根与特定区间的关系

4.3 基本不等式（均值不等式）

对于任意正数 a, b：

a + b ≥ 2√(ab)（当且仅当 a = b 时等号成立）

等价形式：

ab ≤ (a+b)²/4

(a+b)/2 ≥ √(ab)（算术平均数 ≥ 几何平均数）

a² + b² ≥ 2ab（对任意实数成立）

a² + b² ≥ (a+b)²/2

💡 使用条件："一正、二定、三相等"

①

一正：

各项为正数（或能转化为正数）

②

二定：

和或积为定值

③

三相等：

等号成立的条件可满足

常见凑定值技巧：

已知 x + y = S（定值），求 xy 最大值：xy ≤ S²/4

已知 xy = P（定值），求 x + y 最小值：x + y ≥ 2√P

"1"的代换：已知 x + y = 1，求 1/x + 1/y 的最小值

1/x + 1/y = (1/x + 1/y)(x + y) = 1 + y/x + x/y + 1 ≥ 2 + 2 = 4

三元均值不等式：

a + b + c ≥ 3·³√(abc)（a, b, c > 0）

当且仅当 a = b = c 时等号成立

4.4 绝对值不等式

|x| < a ⟺ -a < x < a（a > 0）

|x| > a ⟺ x < -a 或 x > a（a > 0）

绝对值三角不等式：

||a| - |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|

等号成立条件：

|a + b| = |a| + |b| ⟺ ab ≥ 0

|a - b| = |a| + |b| ⟺ ab ≤ 0

解绝对值不等式的方法：

定义法（零点分段法）：找到零点，分段讨论
平方法：两边都非负时可平方
公式法：利用上述公式

4.5 柯西不等式

二维形式：(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

等号成立条件：ad = bc

一般形式（柯西-施瓦茨不等式）：

(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)²

4.6 排序不等式

设 a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ aₙ，b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ bₙ，

c₁, c₂, ..., cₙ 是 b₁, b₂, ..., bₙ 的任一排列，则：

顺序和 ≥ 乱序和 ≥ 逆序和

a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ ≥ a₁c₁ + a₂c₂ + ... + aₙcₙ ≥ a₁bₙ + a₂bₙ₋₁ + ... + aₙb₁

4.7 线性规划（简单的二元一次不等式组）

在约束条件下求目标函数的最值问题。步骤：

画出可行域（不等式组表示的平面区域）
确定目标函数 z = ax + by
平移目标函数直线 y = -(a/b)x + z/b，找到最优解对应的顶点

💡 线性规划要点

• 可行域的顶点处取得最值

• z = ax + by 的几何意义：截距 z/b

• z = √(x² + y²)：点到原点的距离

• z = y/x：点与原点连线的斜率

• z = (y-b)/(x-a)：点与(a,b)连线的斜率

📝 例题（基本不等式）

已知 x > 0, y > 0，且 x + 2y = 1，求 1/x + 1/y 的最小值。

解：利用"1"的代换：

1/x + 1/y = (1/x + 1/y) · 1 = (1/x + 1/y)(x + 2y)

= 1 + 2y/x + x/y + 2 = 3 + 2y/x + x/y

≥ 3 + 2√(2y/x · x/y) = 3 + 2√2

当且仅当 2y/x = x/y，即 x² = 2y²，x = √2·y

代入 x + 2y = 1：√2·y + 2y = 1，y = 1/(√2+2) = (2-√2)/2

x = √2·(2-√2)/2 = (2√2-2)/2 = √2-1

∴ 最小值为 3 + 2√2。

📝 例题（绝对值不等式）

解不等式 |2x - 1| + |x + 2| < 5

解：零点为 x = 1/2 和 x = -2，分三段讨论：

① x < -2：-(2x-1) + -(x+2) < 5 → -3x - 1 < 5 → x > -2，与 x < -2 矛盾，无解

② -2 ≤ x < 1/2：-(2x-1) + (x+2) < 5 → -x + 3 < 5 → x > -2，得 -2 < x < 1/2

③ x ≥ 1/2：(2x-1) + (x+2) < 5 → 3x + 1 < 5 → x < 4/3，得 1/2 ≤ x < 4/3

∴ 解集为 (-2, 4/3)

📝 例题（线性规划）

已知 x, y 满足 x + y ≤ 4, x - y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0，求 z = 2x + y 的最大值。

解：画可行域，顶点为：

(0,0), (2,0), (3,1), (0,4)

代入目标函数：

z(0,0) = 0, z(2,0) = 4, z(3,1) = 7, z(0,4) = 4

∴ z 的最大值为 7，在点 (3,1) 处取得。

📝 例题（含参不等式）

解不等式 x² - (a+1)x + a < 0

解：x² - (a+1)x + a = (x-1)(x-a) < 0

需讨论 1 和 a 的大小：

① a < 1：解集为 (a, 1)

② a = 1：(x-1)² < 0，解集为 ∅

③ a > 1：解集为 (1, a)

五、复数

5.1 复数的概念

形如 z = a + bi（a, b ∈ R）的数称为复数，其中 a 为实部，b 为虚部，i 为虚数单位（i² = -1）。

复数的分类：

b = 0 时，z = a 为实数
b ≠ 0 时，z 为虚数
a = 0, b ≠ 0 时，z = bi 为纯虚数

复数集 C = {a + bi | a, b ∈ R}

关系：N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

5.2 复数的运算

设 z₁ = a + bi，z₂ = c + di

加法：z₁ + z₂ = (a+c) + (b+d)i

减法：z₁ - z₂ = (a-c) + (b-d)i

乘法：z₁ · z₂ = (ac-bd) + (ad+bc)i

除法：z₁/z₂ = [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c²+d²)

（分子分母同乘共轭复数）

共轭复数：z̄ = a - bi

模：|z| = √(a² + b²)

z · z̄ = |z|² = a² + b²

|z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|

|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|

虚数单位 i 的周期性：

i¹ = i，i² = -1，i³ = -i，i⁴ = 1

i^(4n) = 1，i^(4n+1) = i，i^(4n+2) = -1，i^(4n+3) = -i

1 + i + i² + i³ = 0

iⁿ + i^(n+1) + i^(n+2) + i^(n+3) = 0

5.3 复数的几何意义

复数 z = a + bi 对应复平面上的点 Z(a, b)，也对应向量 OZ→。

|z₁ - z₂| = 复平面上两点 Z₁, Z₂ 之间的距离

|z| = 点 Z 到原点的距离

复数加法的几何意义：向量加法的平行四边形法则

复数减法的几何意义：向量减法的三角形法则

复数的三角形式（极坐标形式）：

z = r(cosθ + i·sinθ)（r = |z|, θ 为辐角）

乘法：r₁(cosθ₁ + isinθ₁) · r₂(cosθ₂ + isinθ₂) = r₁r₂(cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂))

除法：z₁/z₂ = (r₁/r₂)(cos(θ₁-θ₂) + isin(θ₁-θ₂))

棣莫弗定理（De Moivre）：

[r(cosθ + isinθ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + isin nθ)

复数方程：

zⁿ = 1 的 n 个根（n 次单位根）：

z_k = cos(2kπ/n) + isin(2kπ/n)，k = 0, 1, 2, ..., n-1

复平面上的轨迹：

|z - z₀| = r：以 z₀ 为圆心，r 为半径的圆

|z - z₁| + |z - z₂| = 2a（2a > |z₁z₂|）：椭圆

||z - z₁| - |z - z₂|| = 2a（2a < |z₁z₂|）：双曲线

📝 例题

已知 z = (1+i)/(1-i)，求 z 的值及 |z|。

解：z = (1+i)(1+i)/[(1-i)(1+i)] = (1+2i+i²)/(1-i²) = (1+2i-1)/(1+1) = 2i/2 = i

|z| = |i| = 1

📝 例题（i 的幂运算）

计算 i + i² + i³ + ... + i²⁰²⁵

解：每 4 项之和为 0（i + i² + i³ + i⁴ = i - 1 - i + 1 = 0）

2025 = 4 × 506 + 1

∴ 原式 = (i + i² + i³ + i⁴) × 506 + i²⁰²⁵ = 0 + i^(4×506+1) = i¹ = i

📝 例题（复数的几何意义）

已知 |z - 2i| + |z + 2i| = 6，求复数 z 对应点的轨迹。

解：设 z = x + yi，则 z 到 (0,2) 和 (0,-2) 的距离之和为 6。

这是椭圆的定义：焦点为 F₁(0,2)、F₂(0,-2)，2a = 6，a = 3，c = 2，b² = 9 - 4 = 5

轨迹方程：y²/9 + x²/5 = 1

六、三角函数

6.1 角的概念推广

角可以看作一条射线绕端点旋转所形成的图形。正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角。

象限角与轴线角：

第一象限角：2kπ < α < π/2 + 2kπ

第二象限角：π/2 + 2kπ < α < π + 2kπ

第三象限角：π + 2kπ < α < 3π/2 + 2kπ

第四象限角：3π/2 + 2kπ < α < 2π + 2kπ

终边相同的角：

与 α 终边相同的角的集合：{β | β = α + 2kπ, k ∈ Z}

弧度制：

1 rad = 圆心角对应的弧长等于半径时的角

π rad = 180°

1° = π/180 rad ≈ 0.01745 rad

1 rad = 180°/π ≈ 57.3°

弧长公式：l = |α| · r（α 为弧度）

扇形面积：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²

6.2 三角函数定义

设角 α 终边上一点 P(x, y)，r = √(x² + y²) > 0：

sin α = y/r

cos α = x/r

tan α = y/x（x ≠ 0）

单位圆定义（r = 1）：

sin α = y（P 点的纵坐标）

cos α = x（P 点的横坐标）

tan α = y/x

三角函数线：

在单位圆中：

正弦线：MP（有向线段，从 x 轴到终点的竖直距离）
余弦线：OM（从原点到 M 点的水平距离）
正切线：AT（过点 A(1,0) 的切线上截取的线段）

各象限三角函数的符号：

口诀："一全正，二正弦，三正切，四余弦"

第一象限：sin+, cos+, tan+

第二象限：sin+, cos-, tan-

第三象限：sin-, cos-, tan+

第四象限：sin-, cos+, tan-

6.3 同角三角函数关系

平方关系：sin²α + cos²α = 1

→ sin²α = 1 - cos²α，cos²α = 1 - sin²α

商数关系：tan α = sin α / cos α

倒数关系：1 + tan²α = sec²α = 1/cos²α

1 + cot²α = csc²α = 1/sin²α

"知一求二"问题：

已知 sinα、cosα、tanα 中的一个，可以求另外两个，但需要注意象限符号。

sinα + cosα = t 时：

(sinα + cosα)² = 1 + 2sinαcosα = t²

sinαcosα = (t² - 1)/2

sinα - cosα = ±√(2 - t²)

6.4 诱导公式

口诀："奇变偶不变，符号看象限"

（kπ/2 ± α，k 为奇数则函数名变，k 为偶数则函数名不变；符号由原角所在象限决定）

第一组（2kπ + α）：

sin(2kπ + α) = sin α

cos(2kπ + α) = cos α

第二组（-α）：

sin(-α) = -sin α

cos(-α) = cos α

第三组（π ± α）：

sin(π - α) = sin α，sin(π + α) = -sin α

cos(π - α) = -cos α，cos(π + α) = -cos α

第四组（π/2 ± α）：

sin(π/2 - α) = cos α，sin(π/2 + α) = cos α

cos(π/2 - α) = sin α，cos(π/2 + α) = -sin α

6.5 三角函数图像与性质

y = sin x 的性质：

定义域：R；值域：[-1, 1]
周期：T = 2π
奇函数（关于原点对称）
增区间：[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]
减区间：[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]
对称轴：x = π/2 + kπ
对称中心：(kπ, 0)

y = cos x 的性质：

定义域：R；值域：[-1, 1]
周期：T = 2π
偶函数（关于 y 轴对称）
增区间：[-π + 2kπ, 2kπ]
减区间：[2kπ, π + 2kπ]
对称轴：x = kπ
对称中心：(π/2 + kπ, 0)

y = tan x 的性质：

定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ}
值域：R
周期：T = π
奇函数
在每个开区间 (-π/2 + kπ, π/2 + kπ) 上单调递增
对称中心：(kπ/2, 0)
无对称轴
渐近线：x = π/2 + kπ

一般形式 y = A sin(ωx + φ) + B（A > 0, ω > 0）：

振幅：A

周期：T = 2π/ω

频率：f = 1/T = ω/(2π)

初相：φ

相位：ωx + φ

值域：[B - A, B + A]

最大值 B + A，最小值 B - A

对称轴：ωx + φ = π/2 + kπ，即 x = (π/2 - φ + kπ)/ω

对称中心：ωx + φ = kπ，即 ((kπ - φ)/ω, B)

单调增区间：-π/2 + 2kπ ≤ ωx + φ ≤ π/2 + 2kπ

单调减区间：π/2 + 2kπ ≤ ωx + φ ≤ 3π/2 + 2kπ

求参数 A, ω, φ, B 的方法：

A = (y_max - y_min) / 2

B = (y_max + y_min) / 2

ω = 2π / T

φ：利用已知点代入求解（注意初相的范围）

图像变换（从 y = sin x 出发）：

方法一（先平移后伸缩）：

y = sin x → y = sin(x + φ)：左移 φ（φ>0）
→ y = sin(ωx + φ)：横坐标缩为 1/ω
→ y = Asin(ωx + φ)：纵坐标扩大 A 倍
→ y = Asin(ωx + φ) + B：上移 B

方法二（先伸缩后平移）：

y = sin x → y = sin ωx：横坐标缩为 1/ω
→ y = sin(ωx + φ)：左移 φ/ω（注意是 φ/ω 不是 φ！）
后续同上

6.6 反三角函数

y = arcsin x：定义域 [-1,1]，值域 [-π/2, π/2]

y = arccos x：定义域 [-1,1]，值域 [0, π]

y = arctan x：定义域 R，值域 (-π/2, π/2)

📝 例题（同角关系）

已知 sin α + cos α = 1/5，α ∈ (0, π)，求 tan α。

解：(sin α + cos α)² = 1/25 → 1 + 2sinαcosα = 1/25

sinαcosα = -12/25 < 0

∵ α ∈ (0, π) 且 sinαcosα < 0，∴ sinα > 0, cosα < 0（第二象限）

(sin α - cos α)² = 1 - 2sinαcosα = 1 + 24/25 = 49/25

∵ sinα > 0, cosα < 0，∴ sinα - cosα > 0，sinα - cosα = 7/5

联立：sinα + cosα = 1/5，sinα - cosα = 7/5

sinα = 4/5，cosα = -3/5

∴ tanα = sinα/cosα = -4/3

📝 例题（求参数）

函数 y = 2sin(2x + π/3) 的单调增区间。

解：令 -π/2 + 2kπ ≤ 2x + π/3 ≤ π/2 + 2kπ

-π/2 - π/3 + 2kπ ≤ 2x ≤ π/2 - π/3 + 2kπ

-5π/6 + 2kπ ≤ 2x ≤ π/6 + 2kπ

-5π/12 + kπ ≤ x ≤ π/12 + kπ

∴ 单调增区间为 [-5π/12 + kπ, π/12 + kπ]，k ∈ Z。

📝 例题（综合应用）

已知 f(x) = 2sin(ωx + φ)（ω > 0, |φ| < π/2）的最小正周期为 π，且图像关于 x = π/3 对称，求 f(x)。

解：T = 2π/ω = π → ω = 2

x = π/3 是对称轴，所以 2·(π/3) + φ = π/2 + kπ

φ = π/2 - 2π/3 + kπ = -π/6 + kπ

∵ |φ| < π/2，∴ φ = -π/6

∴ f(x) = 2sin(2x - π/6)

七、三角恒等变换

7.1 两角和与差的三角函数

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)

tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β)

7.2 二倍角公式

sin 2α = 2sin α cos α

cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

tan 2α = 2tan α / (1 - tan²α)

二倍角公式的逆用（降幂公式）：

sin α cos α = (1/2)sin 2α

cos²α = (1 + cos 2α) / 2

sin²α = (1 - cos 2α) / 2

tan²α = (1 - cos 2α) / (1 + cos 2α)

7.3 半角公式

sin(α/2) = ±√[(1 - cos α) / 2]

cos(α/2) = ±√[(1 + cos α) / 2]

tan(α/2) = ±√[(1 - cos α) / (1 + cos α)]

= sin α / (1 + cos α) = (1 - cos α) / sin α

7.4 辅助角公式

a sin x + b cos x = √(a² + b²) · sin(x + φ)

其中 tan φ = b/a（φ 的象限由 a, b 的符号确定）

也可写成：a sin x + b cos x = √(a² + b²) · cos(x - θ)

其中 tan θ = a/b

💡 辅助角公式的应用

将"一次三角函数"化为标准形式，便于求：

• 最大值/最小值

• 周期

• 单调区间

• 对称轴和对称中心

7.5 三倍角公式

sin 3α = 3sin α - 4sin³α

cos 3α = 4cos³α - 3cos α

tan 3α = (3tan α - tan³α) / (1 - 3tan²α)

7.6 积化和差与和差化积

积化和差：

sin α cos β = (1/2)[sin(α+β) + sin(α-β)]

cos α sin β = (1/2)[sin(α+β) - sin(α-β)]

cos α cos β = (1/2)[cos(α+β) + cos(α-β)]

sin α sin β = -(1/2)[cos(α+β) - cos(α-β)]

和差化积：

sin α + sin β = 2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)

sin α - sin β = 2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2)

cos α + cos β = 2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)

cos α - cos β = -2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)

7.7 万能公式（半角代换）

设 t = tan(α/2)，则：

sin α = 2t / (1 + t²)

cos α = (1 - t²) / (1 + t²)

tan α = 2t / (1 - t²)

7.8 常见的恒等变换技巧

（1）角的变换：

α = (α + β) - β

α = (α + β)/2 + (α - β)/2

2α = (α + β) + (α - β)

α/2 = (α + β)/2 - β/2

（2）函数名的变换：

切割化弦、弦切互化、升幂降幂

（3）"1"的代换：

1 = sin²α + cos²α

1 = tan(π/4)

1 = tan α · cot α

tan α + tan β 的变形：

tan α + tan β = tan(α + β)(1 - tan α tan β)

tan α - tan β = tan(α - β)(1 + tan α tan β)

📝 例题（辅助角公式）

化简 f(x) = sin x + √3 cos x，并求其最大值及取得最大值时 x 的值。

解：f(x) = sin x + √3 cos x = 2(1/2 · sin x + √3/2 · cos x)

= 2(sin x · cos(π/3) + cos x · sin(π/3)) = 2sin(x + π/3)

最大值为 2，当 x + π/3 = π/2 + 2kπ，即 x = π/6 + 2kπ 时取得。

📝 例题（角的变换）

已知 cos(α + β) = 1/3，cos(α - β) = 1/5，求 tan α · tan β。

解：cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ = 1/3 ①

cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ = 1/5 ②

①+②：2cosαcosβ = 1/3 + 1/5 = 8/15 → cosαcosβ = 4/15

②-①：2sinαsinβ = 1/5 - 1/3 = -2/15 → sinαsinβ = -1/15

tanα · tanβ = (sinαsinβ)/(cosαcosβ) = (-1/15)/(4/15) = -1/4

📝 例题（二倍角应用）

已知 sin(π/4 - x) = 3/5，求 sin 2x 的值。

解：注意到 2x = π/2 - 2(π/4 - x)

sin 2x = sin[π/2 - 2(π/4 - x)] = cos[2(π/4 - x)]

= 1 - 2sin²(π/4 - x) = 1 - 2 · (3/5)² = 1 - 18/25 = 7/25

📝 例题（三角求值）

求 cos20° · cos40° · cos80° 的值。

解：利用 sin2α = 2sinαcosα → cosα = sin2α/(2sinα)

原式 = [sin40°/(2sin20°)] · [sin80°/(2sin40°)] · [sin160°/(2sin80°)]

= sin160° / (8sin20°) = sin20° / (8sin20°) = 1/8

📝 例题（综合化简）

化简：(sin2α)/(1 + cos2α) · (cosα)/(1 + cosα)

解：= [2sinαcosα / (2cos²α)] · [cosα / (2cos²(α/2))]

= (sinα/cosα) · [cosα / (2cos²(α/2))]

= sinα / (2cos²(α/2))

= 2sin(α/2)cos(α/2) / (2cos²(α/2))

= tan(α/2)

八、解三角形

8.1 正弦定理

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

其中 R 为三角形外接圆半径。

变形形式：

a = 2R sin A，b = 2R sin B，c = 2R sin C

sin A = a/(2R)，sin B = b/(2R)，sin C = c/(2R)

a : b : c = sin A : sin B : sin C

适用情况：

已知两角一边（AAS 或 ASA）
已知两边和其中一边的对角（SSA，可能有两解、一解或无解）

正弦定理的应用——边角互化：

将边的关系转化为角的关系：a = 2RsinA 代入

将角的关系转化为边的关系：sinA = a/(2R) 代入

8.2 余弦定理

a² = b² + c² - 2bc cos A

b² = a² + c² - 2ac cos B

c² = a² + b² - 2ab cos C

推论（求角）：

cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)

cos B = (a² + c² - b²) / (2ac)

cos C = (a² + b² - c²) / (2ab)

适用情况：

已知三边，求角（SSS）
已知两边及其夹角，求第三边（SAS）

余弦定理的推论——判断三角形形状：

设 a 为最长边：

a² < b² + c² ⟺ A < 90°（锐角三角形）

a² = b² + c² ⟺ A = 90°（直角三角形）

a² > b² + c² ⟺ A > 90°（钝角三角形）

8.3 三角形面积公式

S = (1/2)ab sin C = (1/2)bc sin A = (1/2)ac sin B

S = (1/2) · 底 · 高

海伦公式（已知三边）：

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中 p = (a+b+c)/2

内切圆半径公式：r = S/p = 2S/(a+b+c)

外接圆半径公式：R = abc/(4S)

8.4 三角形中的常用结论

① A + B + C = π

② 在△ABC 中：A > B ⟺ a > b ⟺ sin A > sin B

（大边对大角，大角对大边）

③ sin(A+B) = sin C

cos(A+B) = -cos C

④ 射影定理：a = b cos C + c cos B

⑤ 中线长公式（a 边上的中线 mₐ）：

mₐ = (1/2)√(2b² + 2c² - a²)

⑥ tan A + tan B + tan C = tan A · tan B · tan C

（当 A + B + C = π 时）

8.5 SSA（已知两边及对角）的讨论

已知 a, b, A（a 的对角），判断解的个数：

若 A 为锐角：

a < b sin A：无解

a = b sin A：一解（直角三角形）

b sin A < a < b：两解

a ≥ b：一解

若 A 为直角或钝角：

a ≤ b：无解

a > b：一解

📝 例题（正弦定理）

在△ABC 中，a = 2, b = √6, A = π/4，求 B 和 c。

解：由正弦定理：a/sin A = b/sin B

2/sin(π/4) = √6/sin B

sin B = √6 · sin(π/4) / 2 = √6 · (√2/2) / 2 = √12/4 = 2√3/4 = √3/2

∵ b > a，∴ B > A = π/4，B = π/3 或 B = 2π/3

情况1：B = π/3，C = π - π/4 - π/3 = 5π/12

c = a·sin C/sin A = 2·sin(5π/12)/(√2/2) = 2√2·sin(75°) = 2√2·(√6+√2)/4 = (√12+2)/2 = √3+1

情况2：B = 2π/3，C = π - π/4 - 2π/3 = π/12

c = 2·sin(π/12)/(√2/2) = 2√2·sin(15°) = 2√2·(√6-√2)/4 = (√12-2)/2 = √3-1

∴ B = π/3, c = √3+1 或 B = 2π/3, c = √3-1

📝 例题（余弦定理）

在△ABC 中，a = 7, b = 5, c = 3，求最大角 A 和面积 S。

解：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc) = (25 + 9 - 49) / (2·5·3) = -15/30 = -1/2

∴ A = 2π/3 = 120°

S = (1/2)bc sin A = (1/2)·5·3·sin(2π/3) = (15/2)·(√3/2) = 15√3/4

📝 例题（边角互化）

在△ABC 中，已知 2sin A cos B = sin C，判断三角形形状。

解：∵ C = π - (A+B)，∴ sin C = sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB

∴ 2sinAcosB = sinAcosB + cosAsinB

sinAcosB - cosAsinB = 0

sin(A-B) = 0

∴ A = B（因为 -π < A-B < π）

∴ △ABC 是等腰三角形（a = b）。

📝 例题（面积与最值）

在△ABC 中，b = 2，B = π/3，求△ABC 面积的最大值。

解：由余弦定理：b² = a² + c² - 2ac cos B

4 = a² + c² - 2ac · (1/2) = a² + c² - ac

∵ a² + c² ≥ 2ac，∴ 4 = a² + c² - ac ≥ 2ac - ac = ac

∴ ac ≤ 4（当且仅当 a = c = 2 时等号成立）

S = (1/2)ac sin B = (1/2)ac · (√3/2) = (√3/4)ac ≤ (√3/4) × 4 = √3

∴ 面积的最大值为 √3。

九、数列

9.1 数列的基本概念

数列是按一定次序排列的一列数。数列可以看作定义域为正整数集 N*（或其有限子集 {1,2,...,n}）的函数。

数列的表示：

列举法：a₁, a₂, a₃, ...
通项公式：aₙ = f(n)
递推公式：aₙ = g(aₙ₋₁) 或 aₙ = g(aₙ₋₁, aₙ₋₂)
前 n 项和 Sₙ 与 aₙ 的关系
图示法（散点图）

aₙ 与 Sₙ 的关系：

aₙ = S₁（n = 1）

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n ≥ 2）

注意：需要检验 n = 1 时是否符合 n ≥ 2 的公式！

9.2 等差数列

定义：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数 d，则称该数列为等差数列，d 为公差。

aₙ - aₙ₋₁ = d（n ≥ 2）或 aₙ₊₁ - aₙ = d（n ∈ N*）

重要公式：

通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d = dn + (a₁ - d)

（aₙ 是 n 的一次函数，d 为斜率）

前 n 项和：Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2 = n(a₁ + aₙ)/2

Sₙ = (d/2)n² + (a₁ - d/2)n

（Sₙ 是 n 的二次函数，无常数项，d/2 为二次项系数）

中项关系：2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁（等差中项）

aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2

性质：若 m + n = p + q，则 aₘ + aₙ = aₚ + aq

等差数列的判定方法：

① 定义法：aₙ₊₁ - aₙ = 常数

② 中项法：2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂

③ 通项法：aₙ = kn + b（k, b 为常数）

④ 求和法：Sₙ = An² + Bn（A, B 为常数）

等差数列的性质：

① 若 {aₙ}, {bₙ} 都是等差数列，则 {paₙ + qbₙ} 也是等差数列

② Sₙ, S₂ₙ - Sₙ, S₃ₙ - S₂ₙ 也成等差数列

③ 若 n 为奇数，Sₙ = n · a_((n+1)/2)（中间项）

S₂ₙ₋₁ = (2n-1) · aₙ

④ 等差数列的"片段和"：Sₖ, S₂ₖ - Sₖ, S₃ₖ - S₂ₖ 成等差

⑤ a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = a₃ + aₙ₋₂ = ... = 2a_((n+1)/2)（n 为奇数时）

9.3 等比数列

定义：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数 q（q ≠ 0），则称该数列为等比数列，q 为公比。

aₙ/aₙ₋₁ = q（n ≥ 2, q ≠ 0），aₙ ≠ 0

重要公式：

通项公式：aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

前 n 项和：

q = 1 时：Sₙ = na₁

q ≠ 1 时：Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q) = a₁(qⁿ-1)/(q-1)

中项关系：aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁（等比中项）

aₙ² = aₙ₋ₖ · aₙ₊ₖ

性质：若 m + n = p + q，则 aₘ · aₙ = aₚ · aq

等比数列的判定方法：

① 定义法：aₙ₊₁/aₙ = 常数 q ≠ 0

② 中项法：aₙ₊₁² = aₙ · aₙ₊₂

③ 通项法：aₙ = c · qⁿ（c, q 为非零常数）

等比数列的性质：

① Sₙ, S₂ₙ - Sₙ, S₃ₙ - S₂ₙ 也成等比数列（q ≠ -1 时）

② 若 {aₙ} 为等比数列，则 {|aₙ|}, {aₙ²}, {1/aₙ}, {caₙ} 也为等比数列

③ 若 {aₙ}, {bₙ} 为等比数列，则 {aₙbₙ}, {aₙ/bₙ} 也为等比数列

④ a₁ · aₙ = a₂ · aₙ₋₁ = a₃ · aₙ₋₂ = ...

9.4 求数列通项公式的方法

（1）累加法

适用于 aₙ - aₙ₋₁ = f(n) 的形式（或 aₙ₊₁ - aₙ = f(n)）。

a₂ - a₁ = f(2)

a₃ - a₂ = f(3)

...

aₙ - aₙ₋₁ = f(n)

相加得：aₙ = a₁ + Σ(k=2 to n) f(k)

（2）累乘法

适用于 aₙ/aₙ₋₁ = g(n) 的形式。

a₂/a₁ = g(2)，a₃/a₂ = g(3)，...，aₙ/aₙ₋₁ = g(n)

相乘得：aₙ = a₁ · Π(k=2 to n) g(k)

（3）构造等比数列法

类型一：aₙ₊₁ = p·aₙ + q（p ≠ 0, 1，q ≠ 0）

令 aₙ₊₁ + t = p(aₙ + t)，则 aₙ₊₁ = p·aₙ + (p-1)t

比较得 (p-1)t = q → t = q/(p-1)

令 bₙ = aₙ + t，则 {bₙ} 是公比为 p 的等比数列

类型二：aₙ₊₁ = p·aₙ + qⁿ

两边除以 qⁿ⁺¹：aₙ₊₁/qⁿ⁺¹ = (p/q)·(aₙ/qⁿ) + 1/q

令 bₙ = aₙ/qⁿ，转化为类型一

类型三：aₙ₊₁ = p·aₙ + qn + r

令 aₙ₊₁ + A(n+1) + B = p(aₙ + An + B)

比较系数求 A, B，令 bₙ = aₙ + An + B

（4）取倒数法

适用于 aₙ₊₁ = aₙ / (p·aₙ + q) 的形式。

两边取倒数：1/aₙ₊₁ = (p·aₙ + q)/aₙ = p + q/aₙ

令 bₙ = 1/aₙ，则 bₙ₊₁ = q·bₙ + p（转化为类型一）

（5）特征方程法（二阶线性递推）

aₙ₊₂ = p·aₙ₊₁ + q·aₙ

特征方程：x² = px + q，即 x² - px - q = 0

若两个不等实根 x₁, x₂：aₙ = A·x₁ⁿ + B·x₂ⁿ（A, B 由初始条件确定）

若重根 x₀：aₙ = (An + B)·x₀ⁿ

（6）不动点法

适用于 aₙ₊₁ = (a·aₙ + b)/(c·aₙ + d) 的有理分式递推。

不动点：令 x = (ax + b)/(cx + d)，解方程

若两个不动点 x₁, x₂：(aₙ₊₁ - x₁)/(aₙ₊₁ - x₂) = k · (aₙ - x₁)/(aₙ - x₂)

若一个不动点 x₀：1/(aₙ₊₁ - x₀) = 1/(aₙ - x₀) + k

9.5 求前 n 项和的方法

（1）公式法

直接用等差、等比数列求和公式。常用求和公式：

Σ(k=1 to n) k = n(n+1)/2

Σ(k=1 to n) k² = n(n+1)(2n+1)/6

Σ(k=1 to n) k³ = [n(n+1)/2]²

Σ(k=1 to n) (2k-1) = n²

Σ(k=1 to n) qᵏ = q(qⁿ-1)/(q-1)（q ≠ 1）

（2）分组求和法

将 aₙ 拆分为 bₙ + cₙ，分别求和后相加。适用于一个等差 + 一个等比等形式。

（3）裂项相消法

适用于通项可分解为两项之差的形式：

1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)

1/(n(n+2)) = (1/2)(1/n - 1/(n+2))

1/(√n + √(n+1)) = √(n+1) - √n

1/((2n-1)(2n+1)) = (1/2)(1/(2n-1) - 1/(2n+1))

1/(n(n+1)(n+2)) = (1/2)[1/(n(n+1)) - 1/((n+1)(n+2))]

（4）错位相减法

适用于"等差 × 等比"型数列 aₙ = (An + B) · qⁿ。

Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ

qSₙ = qa₁ + qa₂ + qa₃ + ... + qaₙ

Sₙ - qSₙ = a₁ + (a₂ - qa₁) + ... + (aₙ - qaₙ₋₁) - qaₙ

（利用等差部分的差为常数化简）

（5）倒序相加法

适用于对称结构的数列求和，如 aₖ + aₙ₊₁₋ₖ 为常数。

（6）并项求和法

适用于符号交替的数列，将相邻两项合并。

如 aₙ = (-1)ⁿ · n，Sₙ = (-1+2) + (-3+4) + ...

9.6 数列不等式（放缩法）

常见放缩技巧：

① 1/n² < 1/(n(n-1)) = 1/(n-1) - 1/n（n ≥ 2）

② 1/n² < 1/(n(n+1)) ... 不对，应该是 1/n² > 1/(n(n+1))

正确的：1/n² < 1/(n²-1/4) = 1/((n-1/2)(n+1/2)) = 1/(n-1/2) - 1/(n+1/2)（不常用）

更常用：1/n² < 2/(n(n+1)) = 2(1/n - 1/(n+1))

③ 1/√n < 2/(√n + √(n-1)) = 2(√n - √(n-1))

④ 2ⁿ > n（n ≥ 1），2ⁿ > n²（n ≥ 5）

⑤ 1/(2ⁿ - 1) < 2/2ⁿ = 1/2ⁿ⁻¹

📝 例题（求通项——构造法）

已知 a₁ = 1，aₙ₊₁ = 2aₙ + 3，求 aₙ。

解：令 aₙ₊₁ + t = 2(aₙ + t)，即 aₙ₊₁ = 2aₙ + t

对比得 t = 3，所以 aₙ₊₁ + 3 = 2(aₙ + 3)

令 bₙ = aₙ + 3，则 bₙ₊₁ = 2bₙ，{bₙ} 是公比为 2 的等比数列

b₁ = a₁ + 3 = 4

bₙ = 4 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹

∴ aₙ = bₙ - 3 = 2ⁿ⁺¹ - 3

📝 例题（求通项——取倒数法）

已知 a₁ = 1，aₙ₊₁ = aₙ/(2aₙ + 1)，求 aₙ。

解：两边取倒数：1/aₙ₊₁ = (2aₙ + 1)/aₙ = 2 + 1/aₙ

令 bₙ = 1/aₙ，则 bₙ₊₁ = bₙ + 2，{bₙ} 是公差为 2 的等差数列

b₁ = 1/a₁ = 1

bₙ = 1 + (n-1)·2 = 2n - 1

∴ aₙ = 1/bₙ = 1/(2n - 1)

📝 例题（错位相减法）

求 Sₙ = 1·2 + 2·2² + 3·2³ + ... + n·2ⁿ

解：Sₙ = 1·2¹ + 2·2² + 3·2³ + ... + n·2ⁿ

2Sₙ = 1·2² + 2·2³ + 3·2⁴ + ... + n·2ⁿ⁺¹

相减：Sₙ - 2Sₙ = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ - n·2ⁿ⁺¹

-Sₙ = 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) - n·2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺¹ - 2 - n·2ⁿ⁺¹

-Sₙ = (1 - n)·2ⁿ⁺¹ - 2

Sₙ = (n - 1)·2ⁿ⁺¹ + 2

📝 例题（裂项相消法）

求 Sₙ = 1/(1·3) + 1/(2·4) + 1/(3·5) + ... + 1/(n(n+2))

解：1/(k(k+2)) = (1/2)(1/k - 1/(k+2))

Sₙ = (1/2)[(1/1 - 1/3) + (1/2 - 1/4) + (1/3 - 1/5) + ... + (1/n - 1/(n+2))]

相邻项消去后：

Sₙ = (1/2)[1 + 1/2 - 1/(n+1) - 1/(n+2)]

= (1/2)[3/2 - (2n+3)/((n+1)(n+2))]

= 3/4 - (2n+3)/(2(n+1)(n+2))

📝 例题（等差等比综合）

等差数列 {aₙ} 中，a₃ = 7，a₇ = 15，等比数列 {bₙ} 中 b₁ = a₁，b₂ = a₃。

（1）求 {aₙ} 和 {bₙ} 的通项公式；（2）求数列 {aₙ · bₙ} 的前 n 项和 Tₙ。

解（1）：a₇ - a₃ = 4d = 15 - 7 = 8 → d = 2

a₃ = a₁ + 2d = 7 → a₁ = 3

∴ aₙ = 3 + (n-1)·2 = 2n + 1

b₁ = a₁ = 3，b₂ = a₃ = 7 → q = 7/3

∴ bₙ = 3 · (7/3)ⁿ⁻¹ = 3²⁻ⁿ · 7ⁿ⁻¹

... 此题 q = 7/3 不太好看，换个例子。

📝 例题（Sₙ 与 aₙ 的关系）

已知 Sₙ = 2aₙ - 1，求 aₙ。

解：当 n ≥ 2 时：aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = (2aₙ - 1) - (2aₙ₋₁ - 1) = 2aₙ - 2aₙ₋₁

∴ aₙ = 2aₙ₋₁，即 aₙ/aₙ₋₁ = 2（等比数列，公比 q = 2）

当 n = 1 时：a₁ = S₁ = 2a₁ - 1 → a₁ = 1

∴ aₙ = 1 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁻¹

检验：Sₙ = 1 + 2 + 4 + ... + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ - 1 = 2·2ⁿ⁻¹ - 1 = 2aₙ - 1 ✓

十、平面向量与空间向量

10.1 向量的基本概念

向量是既有大小又有方向的量。用有向线段表示，记作 AB→ 或 a→。

模：向量的长度，记作 |a→|
零向量：长度为 0 的向量，记作 0→，方向任意
单位向量：模为 1 的向量，a→ 方向的单位向量 = a→/|a→|
相等向量：大小相等、方向相同的向量
相反向量：大小相等、方向相反的向量
共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量，记作 a→ ∥ b→

⚠️ 注意

零向量与任何向量平行：0→ ∥ a→ 对任意 a→ 成立。

向量不能比较大小（没有"大于""小于"），但模可以比较。

10.2 向量的线性运算

加法（三角形法则/平行四边形法则）：a→ + b→

性质：a→ + b→ = b→ + a→，(a→ + b→) + c→ = a→ + (b→ + c→)

减法：a→ - b→ = a→ + (-b→)

三角形法则：AB→ - AC→ = CB→（从被减向量终点到减向量终点）

数乘：λa→

|λa→| = |λ| · |a→|

λ > 0 时与 a→ 同向，λ < 0 时与 a→ 反向，λ = 0 时得 0→

性质：λ(μa→) = (λμ)a→

(λ + μ)a→ = λa→ + μa→

λ(a→ + b→) = λa→ + λb→

10.3 向量的坐标表示

设 a→ = (x₁, y₁)，b→ = (x₂, y₂)

a→ + b→ = (x₁+x₂, y₁+y₂)

a→ - b→ = (x₁-x₂, y₁-y₂)

λa→ = (λx₁, λy₁)

|a→| = √(x₁² + y₁²)

AB→ = (x_B - x_A, y_B - y_A)（终点坐标减起点坐标）

10.4 向量的数量积（点积/内积）

定义：a→ · b→ = |a→|·|b→|·cosθ（θ 为两向量的夹角，0 ≤ θ ≤ π）

坐标形式：a→ · b→ = x₁x₂ + y₁y₂

性质：

a→ · a→ = |a→|² = x₁² + y₁²

cosθ = (a→·b→) / (|a→|·|b→|) = (x₁x₂+y₁y₂) / (√(x₁²+y₁²)·√(x₂²+y₂²))

a→ ⊥ b→ ⟺ a→ · b→ = 0 ⟺ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

运算律：

a→ · b→ = b→ · a→（交换律）

(λa→) · b→ = λ(a→ · b→) = a→ · (λb→)

(a→ + b→) · c→ = a→ · c→ + b→ · c→（分配律）

注意：数量积不满足结合律！即 (a→ · b→) · c→ ≠ a→ · (b→ · c→)

重要公式与结论：

|a→ + b→|² = |a→|² + 2a→·b→ + |b→|²

|a→ - b→|² = |a→|² - 2a→·b→ + |b→|²

|a→ + b→|² + |a→ - b→|² = 2(|a→|² + |b→|²)（平行四边形对角线平方和）

(a→ + b→)·(a→ - b→) = |a→|² - |b→|²

向量在 b→ 方向上的投影 = a→·b→ / |b→| = |a→|cosθ

|a→·b→| ≤ |a→|·|b→|（柯西不等式）

10.5 向量共线的条件

a→ ∥ b→（b→ ≠ 0→）⟺ 存在实数 λ，使 a→ = λb→

坐标形式：a→ ∥ b→ ⟺ x₁y₂ - x₂y₁ = 0

三点共线的判定：

A, B, C 三点共线 ⟺ AB→ ∥ AC→ ⟺ AB→ = λ·AC→

或用坐标：(x_B - x_A)(y_C - y_A) = (y_B - y_A)(x_C - x_A)

10.6 平面向量基本定理

如果 e₁→, e₂→ 是同一平面内两个不共线的向量（即一组基底），那么对该平面内的任一向量 a→，有且只有一对实数 λ₁, λ₂，使得：

a→ = λ₁e₁→ + λ₂e₂→

当 e₁→, e₂→ 互相垂直时，就是坐标表示。

向量的正交分解：

将向量分解为互相垂直的两个分量：

a→ 在 b→ 方向上的投影向量 = (a→·b→/|b→|²)·b→

10.7 空间向量

空间向量的坐标运算：

设 a→ = (x₁, y₁, z₁)，b→ = (x₂, y₂, z₂)

a→ + b→ = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)

a→ - b→ = (x₁-x₂, y₁-y₂, z₁-z₂)

λa→ = (λx₁, λy₁, λz₁)

a→ · b→ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

|a→| = √(x₁² + y₁² + z₁²)

夹角：cos

= (a→·b→)/(|a→||b→|) a→ ⊥ b→ ⟺ a→·b→ = 0 ⟺ x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0 a→ ∥ b→ ⟺ a→ = λb→ ⟺ x₁/x₂ = y₁/y₂ = z₁/z₂（分量不为0时）

向量的叉积（外积，拓展）：

a→ × b→ = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)

|a→ × b→| = |a→||b→|sinθ = 平行四边形面积

a→ × b→ 垂直于 a→ 和 b→ 所确定的平面

空间向量基本定理：

如果三个向量 a→, b→, c→ 不共面，那么对空间中任一向量 p→，存在唯一的有序实数组 (x, y, z)，使得 p→ = xa→ + yb→ + zc→。

📝 例题（平面向量）

已知 a→ = (2, 3)，b→ = (-1, 4)，求 a→ · b→、|a→ + b→| 和 a→ 与 b→ 的夹角。

解：a→ · b→ = 2×(-1) + 3×4 = -2 + 12 = 10

a→ + b→ = (1, 7)，|a→ + b→| = √(1+49) = √50 = 5√2

|a→| = √(4+9) = √13，|b→| = √(1+16) = √17

cosθ = 10/(√13·√17) = 10/√221

θ = arccos(10/√221) ≈ 47.4°

📝 例题（三点共线）

已知 A(1, 2)，B(3, 6)，C(4, 8)，判断 A, B, C 是否共线。

解：AB→ = (2, 4)，AC→ = (3, 6)

2 × 6 - 4 × 3 = 12 - 12 = 0

∴ AB→ ∥ AC→，且有公共点 A，所以 A, B, C 三点共线。

📝 例题（向量与三角形）

在△ABC 中，D 是 BC 的中点，AD = 3，点 P 在 AD 上且 AP = 2PD，求 PA→·(PB→ + PC→)。

解：∵ D 是 BC 中点，∴ PB→ + PC→ = 2PD→

∴ PA→·(PB→ + PC→) = PA→·2PD→ = 2(PA→·PD→)

∵ AP = 2PD，AD = 3，∴ AP = 2，PD = 1

PA→ 与 PD→ 方向相反，PA→·PD→ = |PA→|·|PD→|·cos(π) = 2·1·(-1) = -2

∴ PA→·(PB→ + PC→) = 2·(-2) = -4

📝 例题（向量最值）

已知 |a→| = 1，|b→| = 2，求 |a→ + b→| 的最大值和最小值。

解：由三角不等式：||a→| - |b→|| ≤ |a→ + b→| ≤ |a→| + |b→|

∴ 1 ≤ |a→ + b→| ≤ 3

最大值 3（当 a→ 与 b→ 同向时），最小值 1（当 a→ 与 b→ 反向时）。

十一、解析几何

11.1 直线与方程

直线的倾斜角与斜率：

倾斜角 α：直线向上的方向与 x 轴正方向的夹角，0° ≤ α < 180°（0 ≤ α < π）

斜率 k = tan α（α ≠ 90°）

经过两点 (x₁,y₁), (x₂,y₂)：k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)（x₁ ≠ x₂）

α = 90° 时斜率不存在（垂直于 x 轴）

直线方程的几种形式：

点斜式：y - y₀ = k(x - x₀)（不能表示斜率不存在的直线）

斜截式：y = kx + b（b 为 y 轴截距，不能表示斜率不存在的直线）

两点式：(y-y₁)/(y₂-y₁) = (x-x₁)/(x₂-x₁)（不能表示平行于坐标轴的直线）

截距式：x/a + y/b = 1（a,b 分别为 x,y 轴截距，不能表示过原点的直线和平行于坐标轴的直线）

一般式：Ax + By + C = 0（A, B 不同时为 0，可表示所有直线）

两直线的位置关系：

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0，l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0

平行：A₁B₂ - A₂B₁ = 0 且 A₁C₂ - A₂C₁ ≠ 0

或 k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂（斜率存在时）

重合：A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂

垂直：A₁A₂ + B₁B₂ = 0

或 k₁ · k₂ = -1（斜率都存在时）

相交：A₁B₂ - A₂B₁ ≠ 0

距离公式：

两点间距离：|AB| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

点到直线距离：d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

两平行线距离（l₁: Ax + By + C₁ = 0，l₂: Ax + By + C₂ = 0）：

d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²)

直线系方程：

过两直线 l₁, l₂ 交点的直线系：

l₁ + λl₂ = 0（不包含 l₂ 本身）

与 Ax + By + C = 0 平行的直线：Ax + By + m = 0

与 Ax + By + C = 0 垂直的直线：Bx - Ay + m = 0

11.2 圆与方程

标准方程：(x-a)² + (y-b)² = r²（圆心 (a,b)，半径 r）

一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0

圆心 (-D/2, -E/2)，半径 r = √(D²+E²-4F)/2

需 D²+E²-4F > 0（否则不是圆）

点与圆的位置关系：

设点 P(x₀, y₀)，圆心 C(a, b)，半径 r：

d = |PC| = √[(x₀-a)² + (y₀-b)²]

d < r：点在圆内

d = r：点在圆上

d > r：点在圆外

直线与圆的位置关系：

设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r：

d > r：相离（无交点）
d = r：相切（一个交点，切线）
d < r：相交（两个交点）

弦长公式：L = 2√(r² - d²)

弦的中点到直线的距离为 d

切线方程（点 (x₀,y₀) 在圆 (x-a)² + (y-b)² = r² 上）：

(x₀-a)(x-a) + (y₀-b)(y-b) = r²

从圆外一点 P 作切线，切线长 = √(d² - r²)

两圆的位置关系：

设两圆圆心距为 d，半径分别为 r₁, r₂（r₁ ≥ r₂）：

d > r₁ + r₂：外离（4 条公切线）

d = r₁ + r₂：外切（3 条公切线）

r₁ - r₂ < d < r₁ + r₂：相交（2 条公切线）

d = r₁ - r₂：内切（1 条公切线）

0 ≤ d < r₁ - r₂：内含（0 条公切线）

d = 0：同心圆

圆系方程：

过两圆 C₁ = 0 和 C₂ = 0 交点的圆系：C₁ + λC₂ = 0（λ ≠ -1）

λ = -1 时为两圆的公共弦方程（或公共切线）

11.3 椭圆

标准方程（焦点在 x 轴）：x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）

焦点 F₁(-c, 0), F₂(c, 0)

标准方程（焦点在 y 轴）：y²/a² + x²/b² = 1（a > b > 0）

焦点 F₁(0, -c), F₂(0, c)

基本关系：c² = a² - b²（a > b > 0, c > 0）

定义：|PF₁| + |PF₂| = 2a（2a > |F₁F₂| = 2c）

离心率：e = c/a（0 < e < 1）

e 越大椭圆越扁，e 越小越接近圆

准线：x = ±a²/c（焦点在 x 轴）或 y = ±a²/c（焦点在 y 轴）

焦半径公式（焦点在 x 轴）：

|PF₁| = a + ex₀（左焦点）

|PF₂| = a - ex₀（右焦点）

其中 P(x₀, y₀) 为椭圆上的点

焦点弦长（过焦点的弦）：

通径（垂直于长轴的焦点弦）= 2b²/a

|AB| = 2a - e(x₁ + x₂)（过右焦点时）

离心率 e 与半角的关系：

若 ∠F₁PF₂ = θ，则 cos(θ/2) = ... 等结论

椭圆的光学性质：

从椭圆一个焦点发出的光线，经椭圆反射后经过另一个焦点。

11.4 双曲线

标准方程（焦点在 x 轴）：x²/a² - y²/b² = 1（a > 0, b > 0）

焦点 F₁(-c, 0), F₂(c, 0)

标准方程（焦点在 y 轴）：y²/a² - x²/b² = 1（a > 0, b > 0）

焦点 F₁(0, -c), F₂(0, c)

基本关系：c² = a² + b²

定义：||PF₁| - |PF₂|| = 2a（0 < 2a < |F₁F₂| = 2c）

注意：去掉绝对值后只表示双曲线的一支

离心率：e = c/a（e > 1）

e 越大开口越大

渐近线：

焦点在 x 轴：y = ±(b/a)x

焦点在 y 轴：y = ±(a/b)x

准线：x = ±a²/c（焦点在 x 轴）

焦半径公式（焦点在 x 轴，P 在右支 x₀ > 0）：

|PF₁| = a + ex₀（左焦点）

|PF₂| = -a + ex₀ = ex₀ - a（右焦点）

等轴双曲线：a = b，e = √2，渐近线互相垂直（y = ±x）

双曲线的光学性质：

从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点。

11.5 抛物线

标准方程（四种形式）：

① y² = 2px（p > 0）：焦点 (p/2, 0)，准线 x = -p/2，开口向右

② y² = -2px：焦点 (-p/2, 0)，准线 x = p/2，开口向左

③ x² = 2py：焦点 (0, p/2)，准线 y = -p/2，开口向上

④ x² = -2py：焦点 (0, -p/2)，准线 y = p/2，开口向下

定义：|PF| = d（到焦点距离 = 到准线距离）

焦点弦长（以 y² = 2px 为例，弦过焦点 (p/2, 0)）：

|AB| = x₁ + x₂ + p

通径（垂直于对称轴的焦点弦）= 2p

焦点弦性质：

x₁x₂ = p²/4

y₁y₂ = -p²

1/|AF| + 1/|BF| = 2/p

抛物线的光学性质：

从焦点发出的光线经抛物面反射后平行于对称轴射出

平行于对称轴的光线经抛物面反射后汇聚到焦点

11.6 曲线与方程

求曲线方程的步骤：

建立坐标系（选合适的坐标系）
设曲线上任意一点 M(x, y)
写出 M 满足的几何条件
用坐标表示条件，列出方程 f(x,y) = 0
化简方程
验证（通常省略）

11.7 直线与圆锥曲线的联立（核心解题方法）

💡 联立法的标准步骤

① 设直线方程（注意斜率是否存在，可设为 x = my + n 避免讨论）

② 与曲线方程联立，消元得一元二次方程

③ 写出判别式 Δ > 0（确保相交）

④ 利用韦达定理：x₁ + x₂ = -B/A，x₁·x₂ = C/A

⑤ 根据题意建立目标表达式（弦长、面积、中点等）

⑥ 将韦达定理的结果代入求解

弦长公式（直线 y = kx + m 与曲线相交）：

|AB| = √(1+k²) · |x₁ - x₂|

= √(1+k²) · √[(x₁+x₂)² - 4x₁x₂]

= √(1+k²) · √(Δ/A²) = √(1+k²) · √Δ / |A|

若直线为 x = my + n：

|AB| = √(1+m²) · |y₁ - y₂|

中点弦问题：

设弦 AB 的中点为 M(x₀, y₀)：

利用"点差法"——将 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) 分别代入曲线方程，

两式相减，利用 x₁²-x₂² = (x₁+x₂)(x₁-x₂) 等化简，

得到斜率 k 与中点坐标的关系。

📝 例题（直线与圆）

已知圆 C: (x-1)² + (y-2)² = 25，直线 l: (2m+1)x + (m+1)y - 7m - 4 = 0（m 为任意实数）。

（1）证明直线 l 恒过定点；（2）求直线 l 被圆截得的最短弦长。

解（1）：整理直线方程：(2x + y - 7)m + (x + y - 4) = 0

∵ 对任意 m 成立，∴ 2x + y - 7 = 0 且 x + y - 4 = 0

解得 x = 3, y = 1，∴ 恒过定点 P(3, 1)

解（2）：验证 P 在圆内：(3-1)² + (1-2)² = 4 + 1 = 5 < 25 ✓

最短弦 ⊥ CP，其中 C(1,2) 为圆心

|CP| = √(4+1) = √5

最短弦长 = 2√(r² - |CP|²) = 2√(25 - 5) = 2√20 = 4√5

📝 例题（椭圆综合）

椭圆 x²/4 + y²/3 = 1，过右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点。

（1）求 |AB| 的最小值；（2）若 |AF| = 2|BF|，求直线 l 的斜率。

解：a² = 4, b² = 3, c² = 1，F(1, 0)

（1）通径最短：|AB|_min = 2b²/a = 2·3/2 = 3

（2）设直线 l: x = my + 1（避免讨论斜率）

代入椭圆：(my+1)²/4 + y²/3 = 1

3(my+1)² + 4y² = 12

(3m²+4)y² + 6my - 9 = 0

设 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)

y₁ + y₂ = -6m/(3m²+4)，y₁y₂ = -9/(3m²+4)

|AF| = 2|BF|，由焦点弦性质...

实际上用焦半径更方便：|AF| = a - ex₁ = 2 - x₁/2，|BF| = 2 - x₂/2

|AF| = 2|BF| → 2 - x₁/2 = 2(2 - x₂/2) = 4 - x₂

x₂ - x₁/2 = 2 ①

x₁ + x₂ = m(y₁+y₂) + 2 = -6m²/(3m²+4) + 2 = 8/(3m²+4)

x₁x₂ = (my₁+1)(my₂+1) = m²y₁y₂ + m(y₁+y₂) + 1 = -9m²/(3m²+4) - 6m²/(3m²+4) + 1 = 4(1-3m²)/(3m²+4)... 比较复杂

由 ① x₂ = 2 + x₁/2，代入韦达定理可解。

📝 例题（抛物线焦点弦）

抛物线 y² = 4x 的焦点弦 AB 的长为 7，求 AB 的斜率。

解：2p = 4，p = 2，焦点 F(1, 0)

|AB| = x₁ + x₂ + p = x₁ + x₂ + 2 = 7，∴ x₁ + x₂ = 5

设直线 AB: y = k(x-1) 代入 y² = 4x：

k²(x-1)² = 4x → k²x² - (2k²+4)x + k² = 0

x₁ + x₂ = (2k²+4)/k² = 2 + 4/k² = 5

4/k² = 3 → k² = 4/3 → k = ±2/√3 = ±2√3/3

十二、立体几何

12.1 空间几何体

常见几何体分类：

多面体：棱柱、棱锥、棱台
旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球

棱柱的分类：

按底面边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱...

按侧棱与底面的关系：

斜棱柱：侧棱不垂直于底面

直棱柱：侧棱垂直于底面

正棱柱：直棱柱 + 底面为正多边形

棱锥的分类：

按底面边数：三棱锥（四面体）、四棱锥...

正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面中心

性质：侧面为全等的等腰三角形

表面积与体积公式：

柱体：V = Sh（S 为底面积，h 为高）

侧面积 = 底面周长 × 高（直棱柱）

锥体：V = (1/3)Sh

正棱锥侧面积 = (1/2) × 底面周长 × 斜高

台体：V = (1/3)h(S₁ + √(S₁S₂) + S₂)

圆柱：S_侧 = 2πrh（r 为底面半径，h 为高）

S_全 = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)

V = πr²h

圆锥：S_侧 = πrl（l 为母线 = √(r²+h²)）

S_全 = πrl + πr²

V = (1/3)πr²h

圆台：S_侧 = π(r₁ + r₂)l

V = (1/3)πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)

球：S = 4πR²

V = (4/3)πR³

球的内切与外接：

正方体（棱长 a）：

内切球半径：r = a/2

外接球半径：R = √3·a/2（体对角线的一半）

正四面体（棱长 a）：

内切球半径：r = √6·a/12

外接球半径：R = √6·a/4

r : R = 1 : 3

长方体（a × b × c）：

外接球半径：R = √(a²+b²+c²)/2（体对角线的一半）

12.2 空间点、线、面的位置关系

空间中两直线的位置关系：

平行：在同一平面内且无交点
相交：有且仅有一个公共点
异面：不在任何同一平面内（既不平行也不相交）

直线与平面的位置关系：

在平面内（无数个交点）
与平面平行（无交点）：a ∥ α
与平面相交（一个交点）：a ∩ α = A
与平面垂直（特殊的相交）：a ⊥ α

两平面的位置关系：

平行（无公共点）：α ∥ β
相交（交于一条直线）：α ∩ β = l
垂直（特殊的相交）：α ⊥ β

12.3 平行与垂直的判定定理

（一）平行关系

线面平行的判定定理：

定理

平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（线线平行 → 线面平行）

即：a ⊄ α，b ⊂ α，a ∥ b ⟹ a ∥ α

线面平行的性质定理：

定理

一条直线与一个平面平行，经过该直线的平面与此平面相交，则该直线与交线平行。

（线面平行 → 线线平行）

即：a ∥ α，a ⊂ β，α ∩ β = b ⟹ a ∥ b

面面平行的判定定理：

定理

一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。

即：a ⊂ α，b ⊂ α，a ∩ b = P，a ∥ β，b ∥ β ⟹ α ∥ β

面面平行的性质定理：

① α ∥ β，γ ∩ α = a，γ ∩ β = b ⟹ a ∥ b

② α ∥ β，a ⊂ α ⟹ a ∥ β

③ 平行于同一平面的两平面平行（传递性）

（二）垂直关系

线面垂直的判定定理：

定理

一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

即：a ⊂ α，b ⊂ α，a ∩ b = P，l ⊥ a，l ⊥ b ⟹ l ⊥ α

线面垂直的性质定理：

① l ⊥ α ⟹ l 垂直于 α 内所有直线

② l ⊥ α，a ∥ l ⟹ a ⊥ α

③ l ⊥ α，l ⊥ β ⟹ α ∥ β

④ α ⊥ β，l ⊥ α ⟹ l ∥ β 或 l ⊂ β

面面垂直的判定定理：

定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

即：l ⊥ α，l ⊂ β ⟹ α ⊥ β

面面垂直的性质定理：

定理

两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

即：α ⊥ β，α ∩ β = l，a ⊂ α，a ⊥ l ⟹ a ⊥ β

12.4 空间角

（1）异面直线所成的角

平移使两异面直线相交，所成锐角（或直角）即为异面直线所成的角。

范围：(0°, 90°]（即 (0, π/2]）

向量法：cosθ = |cos

| = |a→·b→|/(|a→|·|b→|)

（2）直线与平面所成的角（线面角）

直线与其在平面上的射影所成的角。

范围：[0°, 90°]（即 [0, π/2]）

平行或在平面内时：0°

垂直时：90°

向量法：sinθ = |cos

| = |n→·l→|/(|n→|·|l→|) 其中 n→ 为平面法向量，l→ 为直线方向向量

（3）二面角

从一条直线（棱）出发的两个半平面所组成的图形。

二面角的平面角：在棱上取一点 O，在两个半平面内分别作

垂直于棱的射线 OA、OB，则 ∠AOB 为二面角的平面角。

范围：[0°, 180°]（即 [0, π]）

向量法：

设两个半平面的法向量分别为 n₁→, n₂→

cosθ = ±cos

= ±(n₁→·n₂→)/(|n₁→|·|n₂→|) （需根据实际判断取正还是取负，看两个法向量的方向）简便判断：若两个法向量都指向二面角内侧或都指向外侧，则取负；一个指内一个指外，则取正。

12.5 空间向量法（核心方法）

建立空间直角坐标系的原则：

找三条两两垂直的直线作为坐标轴
尽可能多的点在坐标轴或坐标平面上
便于写出各点的坐标

求平面法向量的方法：

设平面 α 的法向量 n→ = (x, y, z)

在平面 α 内取两个不共线的向量 a→ = (a₁, a₂, a₃), b→ = (b₁, b₂, b₃)

由 n→ · a→ = 0 且 n→ · b→ = 0：

a₁x + a₂y + a₃z = 0

b₁x + b₂y + b₃z = 0

令其中一个分量（如 z = 1），解方程组得 n→

用空间向量求各种角（统一公式）：

① 异面直线所成角：

cosθ = |a→·b→|/(|a→|·|b→|)（取绝对值）

② 线面角：

sinθ = |n→·l→|/(|n→|·|l→|)（注意是 sin 不是 cos）

③ 二面角：

cosθ = ±(n₁→·n₂→)/(|n₁→|·|n₂→|)（符号视情况而定）

空间中的距离：

点到平面的距离：

d = |AP→·n→|/|n→|（A 为平面上一点，P 为所求点，n→ 为法向量）

直线到平行平面的距离：

取直线上一点，转化为点到平面的距离

两平行平面间的距离：

取一个平面上一点，转化为点到平面的距离

📝 例题（线面角）

正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求 A₁B 与平面 A₁B₁CD 所成的角。

解：设正方体棱长为 1，建立坐标系：

D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0)

D₁(0,0,1), A₁(1,0,1), B₁(1,1,1), C₁(0,1,1)

平面 A₁B₁CD 过点 A₁(1,0,1), B₁(1,1,1), C(0,1,0), D(0,0,0)

A₁B₁→ = (0,1,0)，DC→ = (0,1,0)，DA₁→ = (1,0,1)

法向量 n→：n→·A₁B₁→ = 0 → y = 0

n→·DA₁→ = 0 → x + z = 0 → z = -x

取 n→ = (1, 0, -1)

A₁B→ = B - A₁ = (0, 1, -1)

sinθ = |n→·A₁B→|/(|n→|·|A₁B→|) = |0 + 0 + 1|/(√2·√2) = 1/2

∴ θ = 30°

📝 例题（二面角）

正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求二面角 A-BD₁-C 的大小。

解：设棱长为 1。

BD₁→ = (-1, 1, 1)（从 B(1,1,0) 到 D₁(0,0,1)）

平面 ABD₁ 过 A(1,0,0), B(1,1,0), D₁(0,0,1)

AB→ = (0,1,0)，AD₁→ = (-1,0,1)

法向量 n₁→：y = 0, -x+z = 0 → n₁→ = (1, 0, 1)

平面 CBD₁ 过 C(0,1,0), B(1,1,0), D₁(0,0,1)

CB→ = (1,0,0)，CD₁→ = (0,-1,1)

法向量 n₂→：x = 0, -y+z = 0 → n₂→ = (0, 1, 1)

cos = (0 + 0 + 1)/(√2·√2) = 1/2

二面角 = 60° 或 120°，需根据图形判断。观察可知为 60°。

📝 例题（点到平面距离）

正三棱锥 P-ABC，底面边长为 2，侧棱长为 3，求顶点 P 到底面 ABC 的距离（即高）。

解：底面正三角形 ABC，边长 2，中心 O 到顶点距离 = (2/√3)

（正三角形中心到顶点距离 = (2/3) × 高 = (2/3) × √3 = 2√3/3）

PO² = PA² - OA² = 9 - (2√3/3)² = 9 - 4/3 = 23/3

PO = √(23/3) = √69/3

十三、导数与应用

13.1 导数的概念

函数 y = f(x) 在 x₀ 处的导数（瞬时变化率）定义为：

f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

= lim(Δx→0) Δy/Δx

几何意义：f'(x₀) 是曲线 y = f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处切线的斜率。

切线方程：

在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线：y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)

注意区分两种问题：

① "在点 P 处的切线"——P 是切点

② "过点 P 的切线"——P 不一定是切点，需要设切点再求

导函数：

如果 f(x) 在开区间 (a,b) 内每一点都可导，则 f'(x) 也是一个函数，称为 f(x) 的导函数。

13.2 基本初等函数的导数公式

C' = 0（C 为常数）

(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹（n ∈ Q*）

(sin x)' = cos x

(cos x)' = -sin x

(tan x)' = sec²x = 1/cos²x

(cot x)' = -csc²x = -1/sin²x

(aˣ)' = aˣ · ln a（a > 0, a ≠ 1）

(eˣ)' = eˣ

(logₐx)' = 1/(x · ln a)

(ln x)' = 1/x

(√x)' = 1/(2√x)

(1/x)' = -1/x²

13.3 导数的运算法则

(u ± v)' = u' ± v'

(uv)' = u'v + uv'（乘法法则/莱布尼茨法则）

(u/v)' = (u'v - uv')/v²（除法法则，v ≠ 0）

复合函数（链式法则）：

[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)

即 dy/dx = (dy/du) · (du/dx)，其中 u = g(x)

常见复合函数的导数：

(ln(ax+b))' = a/(ax+b)

(e^(ax+b))' = a·e^(ax+b)

(sin(ax+b))' = a·cos(ax+b)

((ax+b)ⁿ)' = na(ax+b)ⁿ⁻¹

13.4 导数与函数的单调性

定理

在区间 (a, b) 内：

• f'(x) > 0 ⟹ f(x) 在该区间上单调递增

• f'(x) < 0 ⟹ f(x) 在该区间上单调递减

• f'(x) = 0（有限个点）不影响单调性

求单调区间的步骤：

确定定义域
求 f'(x)
解 f'(x) > 0 得增区间，解 f'(x) < 0 得减区间
注意定义域的限制

已知单调性求参数范围：

f(x) 在区间 D 上单调递增 ⟺ f'(x) ≥ 0 在 D 上恒成立

（且 f'(x) = 0 的点不能构成区间）

f(x) 在区间 D 上单调递减 ⟺ f'(x) ≤ 0 在 D 上恒成立

13.5 导数与极值、最值

极值的判定：

极值的必要条件：若 f(x) 在 x₀ 处可导且取极值，则 f'(x₀) = 0

（反之不成立！如 f(x) = x³ 在 x = 0 处 f'(0) = 0 但非极值点）

极值的充分条件（第一充分条件）：

f'(x) 在 x₀ 左侧为正、右侧为负 → f(x₀) 为极大值（左正右负）

f'(x) 在 x₀ 左侧为负、右侧为正 → f(x₀) 为极小值（左负右正）

第二充分条件：

f'(x₀) = 0 且 f''(x₀) < 0 → f(x₀) 为极大值

f'(x₀) = 0 且 f''(x₀) > 0 → f(x₀) 为极小值

求闭区间 [a, b] 上最值的步骤：

求 f'(x)
令 f'(x) = 0，求 (a, b) 内的驻点
计算 f(a)、f(b) 及各驻点处的函数值
比较大小，最大值为最大值，最小值为最小值

13.6 导数的综合应用

（1）证明不等式

方法：构造辅助函数 g(x) = f(x) - h(x)（或 f(x)/h(x) 等），利用导数分析 g(x) 的单调性，证明 g(x) ≥ 0 或 g(x) ≤ 0。

常见构造：

证明 f(x) > g(x) → 构造 h(x) = f(x) - g(x)，证 h(x) > 0

证明 f(x)/g(x) > 1 → 构造 h(x) = f(x)/g(x)，证 h(x) > 1

证明 x·f(x) > g(x) → 构造 h(x) = x·f(x) - g(x)

关键技巧：找好"切点"，利用 h(x₀) = 0 和 h'(x₀) = 0 的条件

（2）求参数范围

将条件转化为关于参数的恒成立、存在性等问题。

f(x) ≥ a 恒成立 ⟺ f(x)_min ≥ a

f(x) ≤ a 恒成立 ⟺ f(x)_max ≤ a

存在 x 使 f(x) ≥ a ⟺ f(x)_max ≥ a

存在 x 使 f(x) ≤ a ⟺ f(x)_min ≤ a

对任意 x₁，存在 x₂，使 f(x₁) ≥ g(x₂) ⟺ f_min ≥ g_min

存在 x₁，对任意 x₂，使 f(x₁) ≥ g(x₂) ⟺ f_max ≥ g_max

（3）零点问题

利用导数分析函数的单调性和极值，结合零点存在定理判断零点个数。

零点存在定理：若 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 f(a)·f(b) < 0，

则 f(x) 在 (a,b) 内至少有一个零点。

判断零点个数的步骤：

① 求 f'(x)，列表分析 f(x) 的单调性和极值

② 根据极值的符号和函数的极限（端点值）判断

③ 在每个单调区间上最多一个零点

（4）恒成立与存在性问题

"任意 x₁，任意 x₂" → f_max 与 g_min 的关系

"任意 x₁，存在 x₂" → f_max 与 g_max 的关系

"存在 x₁，任意 x₂" → f_min 与 g_min 的关系

"存在 x₁，存在 x₂" → f_min 与 g_max 的关系

13.7 高阶导数与泰勒展开（拓展）

二阶导数：f''(x) = (f'(x))'

f''(x) > 0：曲线向上凹（凹函数）

f''(x) < 0：曲线向下凸（凸函数）

f''(x₀) = 0 且 f''(x) 在 x₀ 两侧变号：拐点

泰勒展开（麦克劳林展开）：

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ...（|x| < 1）

sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - ...

cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ...

📝 例题（求单调区间和极值）

求 f(x) = x³ - 3x + 1 的单调区间和极值。

解：f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1) = 0，得 x = -1 或 x = 1

x	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	3（极大）	↘	-1（极小）	↗

极大值 f(-1) = 3，极小值 f(1) = -1。

递增区间：(-∞,-1) 和 (1,+∞)；递减区间：(-1,1)。

📝 例题（切线问题）

求曲线 y = x³ 过点 (1, 1) 的切线方程。

解：注意"过点"不等于"在点处"，需要设切点为 (a, a³)。

y' = 3x²，切线斜率 k = 3a²

切线方程：y - a³ = 3a²(x - a)

代入点 (1,1)：1 - a³ = 3a²(1 - a) = 3a² - 3a³

2a³ - 3a² + 1 = 0

(a-1)(2a² - a - 1) = 0 → (a-1)(2a+1)(a-1) = 0 → (a-1)²(2a+1) = 0

a = 1 或 a = -1/2

a = 1 时：k = 3，切线 y = 3x - 2

a = -1/2 时：k = 3/4，切线 y - (-1/8) = (3/4)(x + 1/2)，即 y = (3/4)x + 1/4

∴ 过 (1,1) 有两条切线：y = 3x - 2 和 y = (3/4)x + 1/4

📝 例题（证明不等式）

证明：当 x > 0 时，eˣ > 1 + x。

证明：设 g(x) = eˣ - 1 - x，x > 0

g'(x) = eˣ - 1 > 0（当 x > 0 时）

∴ g(x) 在 (0, +∞) 上单调递增

g(x) > g(0) = 1 - 1 - 0 = 0

∴ eˣ > 1 + x（x > 0）。

📝 例题（恒成立求参数）

已知 f(x) = x·ln x - ax² + a，若 f(x) ≤ 0 对所有 x > 0 恒成立，求 a 的范围。

解：需 x·ln x - ax² + a ≤ 0 对所有 x > 0 恒成立

即 a(x² - 1) ≥ x·ln x

x = 1 时：0 ≥ 0 ✓

x > 1 时：a ≥ (x·ln x)/(x² - 1)

0 < x < 1 时：a ≤ (x·ln x)/(x² - 1)（注意 x²-1 < 0 要变号）

设 g(x) = (x·ln x)/(x² - 1)（x ≠ 1）

需要分析 g(x) 在 (0,1) 和 (1,+∞) 上的极值...

lim(x→1) g(x) = lim(x→1) (ln x + 1)/(2x) = 1/2（洛必达法则）

经过分析可得 a ≥ 1/2 且 a ≤ 1/2，所以 a = 1/2。

📝 例题（零点个数）

讨论 f(x) = x³ - 3x + a 的零点个数。

解：f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1) = 0，x = ±1

极大值 f(-1) = -1 + 3 + a = a + 2

极小值 f(1) = 1 - 3 + a = a - 2

x → -∞ 时 f(x) → -∞，x → +∞ 时 f(x) → +∞

条件	零点个数
a + 2 < 0，即 a < -2	1 个
a + 2 = 0，即 a = -2	2 个
-2 < a < 2	3 个
a - 2 = 0，即 a = 2	2 个
a - 2 > 0，即 a > 2	1 个

十四、算法初步

14.1 算法的概念

算法是按照一定规则解决某一类问题的明确而有限的步骤。

算法的特征：

有限性：算法的步骤是有限的
确定性：每一步都有明确的含义，无歧义
可行性：每一步都可以执行
输入：有 0 个或多个输入
输出：有 1 个或多个输出

14.2 程序框图（流程图）

基本框图符号：

终端框（起止框）：圆角矩形，表示开始/结束

输入/输出框：平行四边形

处理框（执行框）：矩形

判断框：菱形

流程线：带箭头的线

注释框：虚线矩形

三种基本逻辑结构：

（1）顺序结构：

按顺序依次执行各个步骤。

（2）条件结构（选择结构）：

根据条件判断选择不同的执行路径。

IF 条件 THEN

执行语句1

ELSE

执行语句2

END IF

（3）循环结构：

重复执行某些步骤。

当型循环（WHILE 型）：

WHILE 条件

循环体

END WHILE

（先判断后执行）

直到型循环（UNTIL 型）：

循环体

LOOP UNTIL 条件

（先执行后判断）

14.3 基本算法语句

输入输出语句：

INPUT "提示内容"；变量

PRINT "提示内容"；表达式

赋值语句：

变量 = 表达式（将右边赋给左边）

条件语句：

格式一：IF 条件 THEN 语句 END IF

格式二：IF 条件 THEN 语句1 ELSE 语句2 END IF

循环语句：

WHILE 条件

循环体

WEND

循环体

LOOP UNTIL 条件

FOR i = 初值 TO 终值 STEP 步长

循环体

NEXT i

14.4 常见算法

（1）辗转相除法（欧几里得算法）：

求两个正整数的最大公约数。

步骤：m = nq + r

若 r = 0，则 n 为最大公约数

若 r ≠ 0，则 m = n, n = r，重复上述步骤

例：求 8251 与 6105 的最大公约数

8251 = 6105×1 + 2146

6105 = 2146×2 + 1813

2146 = 1813×1 + 333

1813 = 333×5 + 148

333 = 148×2 + 37

148 = 37×4 + 0

∴ GCD = 37

（2）更相减损术：

《九章算术》中的方法，用减法求最大公约数。

步骤：两个数相减，差与较小数再相减，直到两数相等

该数即为最大公约数

（3）秦九韶算法：

求多项式 f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ 在 x = x₀ 处的值。

f(x) = (...((aₙx + aₙ₋₁)x + aₙ₋₂)x + ... + a₁)x + a₀

令 v₀ = aₙ

v₁ = v₀x + aₙ₋₁

v₂ = v₁x + aₙ₋₂

...

vₙ = vₙ₋₁x + a₀

共 n 次乘法和 n 次加法（比直接计算高效）

（4）进位制：

k 进制转十进制：按权展开求和

如 (1011)₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8+0+2+1 = 11

十进制转 k 进制：除 k 取余，逆序排列

如 11 转二进制：11÷2=5...1, 5÷2=2...1, 2÷2=1...0, 1÷2=0...1

逆序读取：(1011)₂

📝 例题（秦九韶算法）

用秦九韶算法求 f(x) = 2x⁴ + 3x³ - x² + 5x - 4 在 x = 2 时的值。

解：f(x) = (((2x + 3)x - 1)x + 5)x - 4

v₀ = 2

v₁ = 2×2 + 3 = 7

v₂ = 7×2 - 1 = 13

v₃ = 13×2 + 5 = 31

v₄ = 31×2 - 4 = 58

∴ f(2) = 58

📝 例题（辗转相除法）

求 325 和 130 的最大公约数。

解：325 = 130×2 + 65

130 = 65×2 + 0

∴ GCD(325, 130) = 65

十五、概率与统计

15.1 计数原理

分类加法计数原理：

完成一件事有 n 类方法，各类分别有 m₁, m₂, ..., mₙ 种方法，则总方法数为 m₁ + m₂ + ... + mₙ。

分步乘法计数原理：

完成一件事需 n 个步骤，各步骤分别有 m₁, m₂, ..., mₙ 种方法，则总方法数为 m₁ × m₂ × ... × mₙ。

15.2 排列与组合

排列数（有序）：A(n,m) = P(n,m) = n!/(n-m)! = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)

组合数（无序）：C(n,m) = n!/[m!(n-m)!] = A(n,m)/m!

阶乘：n! = n(n-1)(n-2)...2·1，0! = 1

组合数性质：

C(n,m) = C(n,n-m)（对称性）

C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)（杨辉三角/帕斯卡公式）

Σ(k=0 to n) C(n,k) = 2ⁿ

排列与组合的关系：A(n,m) = C(n,m) · m!

常见排列组合问题的解题策略：

①

特殊元素/特殊位置优先：

有限制条件的先安排

②

捆绑法：

要求相邻的元素捆绑成一个整体

③

插空法：

要求不相邻的元素插入其他元素的空隙

④

隔板法：

将 n 个相同元素分成 m 份，每份至少 1 个：C(n-1, m-1)

⑤

间接法：

总数减去不符合条件的数

⑥

分组分配问题：

先分组（注意均匀分组要除以阶乘）再分配

⑦

定序问题：

先排好再除以排列数

15.3 二项式定理

(a + b)ⁿ = Σ(k=0 to n) C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ

通项：T(k+1) = C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ（k = 0, 1, 2, ..., n）

特殊形式：

(1 + x)ⁿ = Σ(k=0 to n) C(n,k) · xᵏ

(1 - x)ⁿ = Σ(k=0 to n) C(n,k) · (-1)ᵏ · xᵏ

(a - b)ⁿ = Σ(k=0 to n) C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · (-b)ᵏ

二项式系数性质：

① 对称性：C(n,k) = C(n,n-k)

② 增减性：先增后减，中间项系数最大

n 为偶数：中间一项 C(n, n/2) 最大

n 为奇数：中间两项 C(n, (n-1)/2) = C(n, (n+1)/2) 最大

③ 各项二项式系数之和：令 a = b = 1，ΣC(n,k) = 2ⁿ

④ 奇数项二项式系数之和 = 偶数项二项式系数之和 = 2ⁿ⁻¹

求特定项的方法：

利用通项公式 T(k+1) = C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ，令 x 的指数为指定值，解出 k。

15.4 概率基础

（1）随机事件的概率：

必然事件：P = 1

不可能事件：P = 0

随机事件：0 < P < 1

频率 = n_A/n（n 次试验中 A 发生的次数/总次数）

当 n → ∞ 时，频率趋近于概率

（2）古典概型：

P(A) = A 包含的基本事件数 / 基本事件总数

特征：有限性、等可能性

（3）几何概型：

P(A) = 构成事件 A 的区域长度（面积、体积）/ 全部区域的长度（面积、体积）

特征：无限性、等可能性

（4）互斥事件与对立事件：

互斥（互不相容）：A ∩ B = ∅（不能同时发生）

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)（互斥事件）

对立：A ∩ B = ∅ 且 A ∪ B = 必然事件

P(A) + P(B) = 1，即 P(B) = 1 - P(A)

A 的对立事件记作 A̅

15.5 条件概率与独立事件

（1）条件概率：

P(B|A) = P(AB) / P(A)（在 A 发生的条件下 B 发生的概率）

性质：0 ≤ P(B|A) ≤ 1

P(B∪C|A) = P(B|A) + P(C|A)（B, C 互斥时）

（2）乘法公式：

P(AB) = P(A) · P(B|A) = P(B) · P(A|B)

（3）全概率公式：

设 B₁, B₂, ..., Bₙ 是样本空间的一个划分（互不相容，并为必然事件）：

P(A) = Σ(i=1 to n) P(Bᵢ) · P(A|Bᵢ)

（4）贝叶斯公式：

P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ) · P(A|Bᵢ) / P(A)

= P(Bᵢ) · P(A|Bᵢ) / Σ(j=1 to n) P(Bⱼ) · P(A|Bⱼ)

（5）独立事件：

A, B 独立 ⟺ P(AB) = P(A) · P(B)

此时 P(B|A) = P(B)（A 的发生不影响 B）

若 A, B 独立，则 A 与 B̅、A̅ 与 B、A̅ 与 B̅ 也独立

n 个独立事件至少一个发生的概率：

P = 1 - P(A̅₁) · P(A̅₂) · ... · P(A̅ₙ) = 1 - (1-P₁)(1-P₂)...(1-Pₙ)

15.6 随机变量及其分布

（1）离散型随机变量：

取值为有限个或可数无限个的随机变量。用分布列（概率分布表）表示。

分布列：X = xᵢ，P(X = xᵢ) = pᵢ（i = 1, 2, ...）

性质：pᵢ ≥ 0，Σpᵢ = 1

（2）数学期望（均值）：

E(X) = Σ xᵢ · pᵢ

性质：

E(aX + b) = aE(X) + b

E(X + Y) = E(X) + E(Y)（无需独立）

若 X, Y 独立：E(XY) = E(X) · E(Y)

（3）方差：

D(X) = E[(X - E(X))²] = E(X²) - [E(X)]²

= Σ (xᵢ - E(X))² · pᵢ

性质：

D(aX + b) = a²D(X)

若 X, Y 独立：D(X + Y) = D(X) + D(Y)

（4）常见离散分布：

二项分布 X ~ B(n, p)：

（n 次独立重复试验中成功的次数）

P(X=k) = C(n,k) · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ（k = 0, 1, ..., n）

E(X) = np，D(X) = np(1-p)

超几何分布：

（不放回抽样）

总体 N 个，其中 M 个合格品，抽 n 个，合格数 X：

P(X=k) = C(M,k) · C(N-M, n-k) / C(N,n)

E(X) = nM/N

两点分布（0-1 分布）：

P(X=1) = p，P(X=0) = 1-p

E(X) = p，D(X) = p(1-p)

（5）正态分布：

X ~ N(μ, σ²)

概率密度函数：f(x) = (1/(σ√(2π))) · e^(-(x-μ)²/(2σ²))

性质：

① 关于 x = μ 对称

② σ 越小，曲线越"瘦高"（数据越集中）

③ σ 越大，曲线越"矮胖"（数据越分散）

④ μ 决定位置，σ 决定形状

3σ原则：

P(μ - σ < X < μ + σ) ≈ 68.3%

P(μ - 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 95.4%

P(μ - 3σ < X < μ + 3σ) ≈ 99.7%

标准化：Z = (X - μ)/σ ~ N(0, 1)（标准正态分布）

P(X < x) = Φ((x - μ)/σ)

15.7 统计

（1）抽样方法：

简单随机抽样：

逐个不放回抽取

方法：抽签法、随机数表法

特点：总体个数较少时适用

系统抽样（等距抽样）：

步骤：编号 → 分段（间隔 k = N/n）→ 确定起始号 → 等距抽取

特点：总体个数较多时适用

分层抽样：

按各类别占总体的比例抽取

特点：总体由差异明显的几部分组成时适用

（2）用样本估计总体：

频率分布直方图：

纵轴 = 频率/组距

各小矩形面积之和 = 1

中位数：使左右面积各为 0.5 的值

众数：最高小矩形的中点

茎叶图：

保留原始数据信息

样本均值：

x̄ = (1/n)Σxᵢ

样本方差：

s² = (1/n)Σ(xᵢ - x̄)² = (1/n)Σxᵢ² - x̄²

样本标准差：

s = √(s²)

修正样本方差（无偏估计）：

s² = (1/(n-1))Σ(xᵢ - x̄)²

（3）回归分析：

线性回归方程：

ŷ = b̂x + â

b̂ = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / Σ(xᵢ - x̄)²

= (Σxᵢyᵢ - nx̄ȳ) / (Σxᵢ² - nx̄²)

â = ȳ - b̂x̄

性质：回归直线一定过样本中心点 (x̄, ȳ)

相关系数：

r = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / √[Σ(xᵢ - x̄)² · Σ(yᵢ - ȳ)²]

|r| 越接近 1，线性相关性越强

|r| 越接近 0，线性相关性越弱

|r| > 0.75 通常认为线性相关性很强

相关指数 R²（决定系数）：

R² = 1 - Σ(yᵢ - ŷᵢ)² / Σ(yᵢ - ȳ)²

R² 越接近 1，回归效果越好

（4）独立性检验：

2×2 列联表：

| B | B̅ | 合计

A | a | b | a+b

A̅ | c | d | c+d

合计 | a+c | b+d | n

卡方统计量：

χ² = n(ad-bc)² / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]

χ² 越大，说明两变量有关联的把握越大。

临界值表（自由度 = 1）：

P(χ² ≥ 2.706) ≈ 0.10（90% 的把握）

P(χ² ≥ 3.841) ≈ 0.05（95% 的把握）

P(χ² ≥ 6.635) ≈ 0.01（99% 的把握）

P(χ² ≥ 10.828) ≈ 0.001（99.9% 的把握）

📝 例题（排列组合——捆绑法）

5 人站成一排，甲乙必须相邻，有多少种排法？

解：将甲乙捆绑成一个整体，与其余 3 人共 4 个元素全排列：A(4,4) = 4! = 24

甲乙内部可以互换：2 种

总排法 = 24 × 2 = 48 种

📝 例题（排列组合——插空法）

7 人站一排，甲乙丙互不相邻，有多少种排法？

解：先排其他 4 人：A(4,4) = 24 种

4 人产生 5 个空位（包括两端），从 5 个空位中选 3 个给甲乙丙：A(5,3) = 60 种

总排法 = 24 × 60 = 1440 种

📝 例题（二项式定理）

求 (2x - 1/x)⁶ 的展开式中 x² 的系数。

解：T(k+1) = C(6,k) · (2x)⁶⁻ᵏ · (-1/x)ᵏ = C(6,k) · 2⁶⁻ᵏ · (-1)ᵏ · x⁶⁻²ᵏ

令 6 - 2k = 2，得 k = 2

T₃ = C(6,2) · 2⁴ · (-1)² · x² = 15 · 16 · 1 · x² = 240x²

∴ x² 的系数为 240。

📝 例题（二项分布）

某射手每次命中率为 0.8，射击 5 次，求恰好命中 3 次的概率和命中次数的期望。

解：X ~ B(5, 0.8)

P(X = 3) = C(5,3) · 0.8³ · 0.2² = 10 · 0.512 · 0.04 = 0.2048

E(X) = np = 5 × 0.8 = 4

D(X) = np(1-p) = 5 × 0.8 × 0.2 = 0.8

📝 例题（全概率公式）

甲袋中有 3 红 2 白，乙袋中有 2 红 3 白。先从甲取一球放入乙，再从乙取一球。求第二次取到红球的概率。

解：设 B₁ 为"从甲取到红球"，B₂ 为"从甲取到白球"

P(B₁) = 3/5，P(B₂) = 2/5

P(A|B₁) = 3/6 = 1/2（乙变成 3 红 3 白）

P(A|B₂) = 2/6 = 1/3（乙变成 2 红 4 白）

P(A) = P(B₁)·P(A|B₁) + P(B₂)·P(A|B₂) = (3/5)(1/2) + (2/5)(1/3) = 3/10 + 2/15 = 9/30 + 4/30 = 13/30

📝 例题（独立性检验）

调查 100 人，研究吸烟与患肺癌的关系，得到如下 2×2 列联表：

	患肺癌	未患肺癌	合计
吸烟	30	20	50
不吸烟	10	40	50
合计	40	60	100

判断吸烟与患肺癌是否有关。

解：χ² = 100×(30×40 - 20×10)² / (50×50×40×60)

= 100×(1200 - 200)² / (50×50×40×60)

= 100×1000² / 6000000

= 100×1000000 / 6000000 = 100000000/6000000 ≈ 16.67

∵ 16.67 > 10.828

∴ 有 99.9% 以上的把握认为吸烟与患肺癌有关。

📝 例题（回归分析）

已知 5 组数据：(1,2), (2,3), (3,5), (4,6), (5,8)，求线性回归方程。

解：x̄ = (1+2+3+4+5)/5 = 3

ȳ = (2+3+5+6+8)/5 = 24/5 = 4.8

Σxᵢyᵢ = 1·2 + 2·3 + 3·5 + 4·6 + 5·8 = 2+6+15+24+40 = 87

Σxᵢ² = 1+4+9+16+25 = 55

b̂ = (87 - 5·3·4.8) / (55 - 5·9) = (87 - 72) / (55 - 45) = 15/10 = 1.5

â = 4.8 - 1.5·3 = 4.8 - 4.5 = 0.3

∴ 回归方程：ŷ = 1.5x + 0.3

十六、推理与证明

16.1 合情推理

（1）归纳推理：

由部分到整体、由个别到一般的推理。

步骤：

① 观察若干特例，发现规律

② 提出一般性的猜想

③ 证明猜想（通常用数学归纳法）

（2）类比推理：

由特殊到特殊的推理。根据两个（类）对象在某些属性上相同，推断它们在其他属性上也相同。

常见类比：

平面 → 空间：三角形 → 四面体，圆 → 球

长度 → 面积，面积 → 体积

平行 → 平行，垂直 → 垂直

中线 → 重心，中面 → 重心

16.2 演绎推理

由一般到特殊的推理。最典型的形式是三段论。

三段论：

大前提：已知的一般原理（M 是 P）

小前提：所研究的特殊情况（S 是 M）

结论：根据一般原理对特殊情况做出判断（S 是 P）

16.3 直接证明

（1）综合法：

由因导果。从已知条件出发，利用定义、公理、定理等，逐步推导出结论。

P（已知）→ P₁ → P₂ → ... → Q（结论）

（2）分析法：

执果索因。从结论出发，逐步寻找使其成立的充分条件，直到归结为已知条件或明显的事实。

Q（结论）← Q₁ ← Q₂ ← ... ← P（已知）

16.4 间接证明——反证法

假设结论不成立，由此推出矛盾，从而说明假设不成立，原结论成立。

步骤：

① 假设结论的反面成立

② 从假设出发进行推理

③ 推出矛盾（与已知条件、定义、公理、定理或假设本身矛盾）

④ 否定假设，肯定原结论

💡 适用反证法的常见情形

• 结论是否定形式（"不是""不可能""不存在"）

• 结论是"至多""至少"型

• 结论的反面比原结论更具体、更容易研究

• 唯一性问题

16.5 数学归纳法

证明关于正整数 n 的命题的一种方法。

步骤（第一数学归纳法）：

① 基础步：验证 n = n₀（如 n = 1）时命题成立

② 归纳步：假设 n = k（k ≥ n₀）时命题成立，

证明 n = k+1 时命题也成立

③ 结论：由①②可知，命题对所有 n ≥ n₀ 的正整数成立

⚠️ 注意事项

① 两步缺一不可：没有基础步，归纳假设可能无根据；没有归纳步，只能说明个别情况

② 归纳步中必须用到归纳假设（n = k 时的结论）

③ 有时需要加强命题才能完成归纳（强归纳法）

第二数学归纳法（强归纳法）：

① 验证 n = n₀ 时命题成立

② 假设 n₀ ≤ n ≤ k 时命题都成立，证明 n = k+1 时也成立

📝 例题（数学归纳法）

证明：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

证明：

① 基础步：n = 1 时，左边 = 1，右边 = 1·2/2 = 1，左边 = 右边 ✓

② 归纳步：假设 n = k 时等式成立，即 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2

当 n = k+1 时：

左边 = 1 + 2 + ... + k + (k+1)

= k(k+1)/2 + (k+1)（利用归纳假设）

= (k+1)(k/2 + 1) = (k+1)(k+2)/2

= (k+1)((k+1)+1)/2 = 右边

∴ n = k+1 时等式也成立。

③ 结论：由①②可知，等式对所有正整数 n 成立。

📝 例题（反证法）

证明：√2 是无理数。

证明：假设 √2 是有理数，则 √2 = p/q（p, q 为互质的正整数）

2 = p²/q²，即 p² = 2q²

∴ p² 为偶数，p 为偶数。设 p = 2m

(2m)² = 2q² → 4m² = 2q² → q² = 2m²

∴ q² 为偶数，q 为偶数

这与 p, q 互质矛盾！

∴ 假设不成立，√2 是无理数。

📝 例题（分析法）

已知 a > 0, b > 0，证明：√a + √b ≤ √(2(a+b))。

证明：（分析法，从结论出发）

要证 √a + √b ≤ √(2(a+b))

只需证 (√a + √b)² ≤ 2(a+b)（两边都非负，可平方）

即 a + 2√(ab) + b ≤ 2a + 2b

即 2√(ab) ≤ a + b

这是基本不等式（均值不等式），成立。

以上各步均可逆，故原不等式成立。

📝 例题（归纳法——不等式）

证明：当 n ≥ 2 时，(1 + 1/n)ⁿ < 3。

证明：直接证明较困难，考虑用二项式展开：

(1 + 1/n)ⁿ = 1 + n·(1/n) + C(n,2)·(1/n)² + C(n,3)·(1/n)³ + ...

= 1 + 1 + n(n-1)/(2n²) + n(n-1)(n-2)/(6n³) + ...

< 1 + 1 + 1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... （每项放大）

= 1 + (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) = 1 + 1/(1-1/2) = 1 + 2 = 3

∴ (1 + 1/n)ⁿ < 3。

十七、坐标系与参数方程

17.1 极坐标系

极坐标系的建立：

在平面上取一个定点 O（极点），从 O 引一条射线 Ox（极轴），再选定长度单位和角度方向（通常逆时针为正），就建立了极坐标系。

极坐标的表示：

点 M 的极坐标 (ρ, θ)：

ρ = |OM|（极径，ρ ≥ 0）

θ = ∠xOM（极角）

极点：ρ = 0，θ 任意

同一点的极坐标不唯一：(ρ, θ + 2kπ) 或 (-ρ, θ + (2k+1)π)

极坐标与直角坐标的互化：

极坐标 → 直角坐标：

x = ρcosθ

y = ρsinθ

直角坐标 → 极坐标：

ρ² = x² + y²

tanθ = y/x（x ≠ 0）

θ 的象限由 x, y 的符号确定

常见曲线的极坐标方程：

圆心在极点的圆：ρ = r（r 为半径）

过极点且圆心在极轴上的圆：ρ = 2acosθ（圆心 (a,0)，半径 a）

过极点且圆心在 y 轴上的圆：ρ = 2asinθ（圆心 (0,a)，半径 a）

过极点且与极轴成 α 角的直线：θ = α

不过极点的直线：ρcos(θ - α) = d（d 为极点到直线的距离）

ρsinθ = a（水平线 y = a）

ρcosθ = a（竖直线 x = a）

圆锥曲线（焦点在极点）：

ρ = ep/(1 - ecosθ)（e 为离心率，p 为焦准距）

0 < e < 1：椭圆，e = 1：抛物线，e > 1：双曲线

17.2 参数方程

参数方程的概念：

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数：

x = f(t)

y = g(t)

（t 为参数，且 t 在一定范围内变化）

常见曲线的参数方程：

圆 x² + y² = r²：

x = r·cosθ

y = r·sinθ

（θ 为参数，0 ≤ θ < 2π）

圆 (x-a)² + (y-b)² = r²：

x = a + r·cosθ

y = b + r·sinθ

椭圆 x²/a² + y²/b² = 1：

x = a·cosθ

y = b·sinθ

（θ 为离心角，参数）

双曲线 x²/a² - y²/b² = 1：

x = a·secθ = a/cosθ

y = b·tanθ

（或 x = a·cosh t, y = b·sinh t）

抛物线 y² = 2px：

x = 2pt²

y = 2pt

（t 为参数，表示抛物线上点的斜率相关的量）

直线过点 (x₀, y₀)，倾斜角 α：

x = x₀ + t·cosα

y = y₀ + t·sinα

（t 为参数，|t| 表示到 (x₀,y₀) 的距离，t 有正负号表示方向）

参数方程与普通方程的互化：

消参法：从参数方程中消去参数 t

① 代入消参：从一个式子解出 t 代入另一个

② 加减消参：两式相加、相减、相除

③ 三角消参：利用 sin²θ + cos²θ = 1 等恒等式

直线的参数方程的几何意义：

x = x₀ + t·cosα

y = y₀ + t·sinα

t 的几何意义：

|t| = 点 M(x,y) 到点 M₀(x₀,y₀) 的距离

t > 0：M 在 M₀ 的方向上

t < 0：M 在 M₀ 的反方向上

t = 0：M = M₀

设直线与曲线交于 A(t₁), B(t₂)：

|AB| = |t₁ - t₂|

|MA|·|MB| = |t₁·t₂|

M 为 AB 中点 ⟺ t₁ + t₂ = 0

17.3 伸缩变换与坐标变换

平面直角坐标系中的伸缩变换：

x' = λx（λ > 0）

y' = μy（μ > 0）

例：将圆 x² + y² = 1 沿 y 轴伸缩 b 倍：

x' = x, y' = by → x = x', y = y'/b

代入：x'² + (y'/b)² = 1 → x² + y²/b² = 1（椭圆）

📝 例题（极坐标与直角坐标互化）

将极坐标方程 ρ = 4cosθ 化为直角坐标方程。

解：两边乘 ρ：ρ² = 4ρcosθ

x² + y² = 4x

x² - 4x + y² = 0

(x - 2)² + y² = 4

∴ 这是以 (2, 0) 为圆心、半径为 2 的圆。

📝 例题（参数方程应用）

椭圆 x²/9 + y²/4 = 1 上一点 P，求 P 到直线 x + 2y - 10 = 0 的最小距离。

解：设 P(3cosθ, 2sinθ)

d = |3cosθ + 4sinθ - 10| / √(1+4) = |3cosθ + 4sinθ - 10| / √5

3cosθ + 4sinθ = 5sin(θ + φ)（其中 tanφ = 3/4）

∴ 3cosθ + 4sinθ ∈ [-5, 5]

d = |5sin(θ+φ) - 10| / √5 = (10 - 5sin(θ+φ)) / √5（因为 5sin(θ+φ) ≤ 5 < 10）

d_min = (10 - 5) / √5 = 5/√5 = √5

∴ 最小距离为 √5。

📝 例题（直线参数方程的几何意义）

直线 l 过点 M₀(1, 2)，倾斜角为 π/3，与圆 x² + y² = 9 交于 A、B 两点。求 |M₀A|·|M₀B|。

解：直线 l 的参数方程：

x = 1 + t·cos(π/3) = 1 + t/2

y = 2 + t·sin(π/3) = 2 + t√3/2

代入圆方程：(1 + t/2)² + (2 + t√3/2)² = 9

1 + t + t²/4 + 4 + 2t√3 + 3t²/4 = 9

t² + (1 + 2√3)t + 5 - 9 = 0

t² + (1 + 2√3)t - 4 = 0

设 A, B 对应的参数为 t₁, t₂：

t₁·t₂ = -4

∴ |M₀A|·|M₀B| = |t₁|·|t₂| = |t₁·t₂| = 4

📝 例题（极坐标求面积）

求由曲线 ρ = 2cosθ 和 ρ = 2sinθ 所围成的面积。

解：化为直角坐标：

ρ = 2cosθ → (x-1)² + y² = 1（圆心(1,0)，半径1）

ρ = 2sinθ → x² + (y-1)² = 1（圆心(0,1)，半径1）

两圆交点：解方程组得 (0,0) 和 (1,1)

所围面积 = 两个弓形面积之和

圆心距 = √2，cos(∠/2) = (√2/2)/1 = √2/2，∠ = π/2

每个弓形 = 扇形 - 三角形 = (1/2)·1²·(π/2) - (1/2)·1² = π/4 - 1/2

总面积 = 2·(π/4 - 1/2) = π/2 - 1

十八、数学思想方法总结

18.1 函数与方程思想

核心思想

用运动变化的观点分析数学问题中的数量关系，建立函数关系或方程关系，运用函数或方程的性质来解决问题。

常见应用：

构造函数：将不等式问题转化为函数的单调性、最值问题
构造方程：将几何问题、数列问题等转化为方程求解
函数与方程的互相转化：f(x) = 0 的根就是 y = f(x) 与 x 轴的交点

18.2 数形结合思想

核心思想

根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，将数量关系与图形性质结合起来。

以形助数：

利用函数图像分析函数性质
利用向量图形解决向量问题
利用韦恩图解决集合问题
利用几何直观理解代数关系

以数解形：

利用坐标法解决几何问题（解析几何）
利用代数运算证明几何定理
利用向量法计算空间角和距离

18.3 分类讨论思想

核心思想

当问题所涉及的数学对象在不同条件下有不同的结果或表现形式时，需要根据某个标准将其分为若干类，逐类讨论。

引起分类讨论的常见因素：

① 数学概念本身的分类（如绝对值、斜率存在与否）

② 数学运算的要求（如分母不为 0、对数真数为正）

③ 数学定理、公式的限制条件

④ 图形位置的不确定性

⑤ 参数的取值范围不同

⑥ 含参不等式、方程中参数的讨论

分类讨论的原则：

标准统一
不重不漏（各类之间互不相容，所有类合并为全集）
层次分明
能不分则不分（尽量简化讨论）

18.4 转化与化归思想

核心思想

将陌生、复杂、困难的问题转化为熟悉、简单、容易的问题来解决。

常见转化方法：

① 高次 → 低次（降次）

② 多元 → 一元（消元）

③ 超越方程 → 代数方程

④ 无理式 → 有理式

⑤ 一般 → 特殊（特殊值法、极端情况）

⑥ 正面 → 反面（反证法、间接法）

⑦ 动态 → 静态

⑧ 空间 → 平面（立体几何中）

⑨ 整体代换、换元法

18.5 特殊与一般思想

由特殊到一般：

观察特殊案例 → 发现规律 → 提出猜想 → 一般性证明

（归纳推理、数学归纳法）

由一般到特殊：

利用一般性的定理、公式解决具体问题

（演绎推理）

特殊值法：

选择题中代入特殊值验证

极端情况法：

将变量取到极端值分析问题

18.6 常见解题策略与技巧

（1）选择题技巧：

①

直接法：

正面推导计算

②

特值法：

代入特殊值检验

③

排除法：

排除明显错误的选项

④

数形结合法：

画图辅助判断

⑤

估算法：

不需要精确计算时估算

⑥

逆向思维：

将选项代入验证

（2）填空题技巧：

① 直接计算

② 特殊值代入

③ 数形结合

④ 等价转化

⑤ 构造法

⑥ 注意检验（代入验证）

（3）解答题策略：

① 审题：明确已知条件和所求结论

② 分析：寻找已知与未知之间的联系

③ 选择方法：确定解题思路和方案

④ 规范书写：步骤完整，逻辑清晰，关键步骤不能省

⑤ 检验：检查计算和逻辑是否正确

18.7 高中数学常用结论（速查）

集合：

n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集

函数：

f(x) 关于 x = a 对称：f(a+x) = f(a-x)

f(x) 关于 (a,0) 中心对称：f(a+x) = -f(a-x)

f(x+a) = -f(x) → T = 2a

三角：

sin²α + cos²α = 1

1 + tan²α = sec²α

sin(A+B) = sinC（三角形中）

不等式：

a+b ≥ 2√(ab)（a,b>0），等号当且仅当 a=b

a²+b² ≥ 2ab，等号当且仅当 a=b

数列：

等差：aₙ = a₁ + (n-1)d，Sₙ = n(a₁+aₙ)/2

等比：aₙ = a₁qⁿ⁻¹，Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)

向量：

a→·b→ = |a→||b→|cosθ

a→ ⊥ b→ ⟺ a→·b→ = 0

a→ ∥ b→ ⟺ x₁y₂ - x₂y₁ = 0

解析几何：

点到直线距离 d = |Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)

弦长 = 2√(r²-d²)

椭圆 e = c/a，c² = a²-b²

双曲线 e = c/a，c² = a²+b²

抛物线焦点到准线距离 = p

立体几何：

球体积 = 4πR³/3，表面积 = 4πR²

锥体体积 = Sh/3

概率统计：

E(aX+b) = aE(X)+b

D(aX+b) = a²D(X)

独立事件：P(AB) = P(A)P(B)