高中物理知识与教程（详细版）

写在前面

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关于本教程

本教程系统整理了高中物理（人教版为主）的全部核心知识点，涵盖力学、电磁学、热学、光学与近代物理五大板块。内容适合：

• 新课学习时的知识梳理
• 阶段性复习与查缺补漏
• 高考一轮、二轮系统复习
• 竞赛基础知识的入门

学习建议

1. 理解优先：物理不是记忆学科，每个公式都要理解其物理意义、适用条件和推导过程。
2. 画图习惯：解题时务必画受力分析图、运动过程图、电路图。
3. 模型思维：物理题目千变万化，但模型是有限的（如平抛、圆周、类平抛等）。
4. 错题积累：记录易错点、典型题和解法思路。
5. 规范表达：解题过程要有"已知、求、解、答"，公式、单位、符号要规范。

预备知识：数学工具与物理思想

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0.1 矢量与标量

类别	定义	例子	运算法则
矢量	有大小又有方向的物理量	位移、速度、加速度、力、动量、电场强度	平行四边形定则
标量	只有大小没有方向的物理量	质量、时间、路程、温度、功、能量	代数运算

易错：

电流虽有方向但是标量（因为不遵循矢量叠加法则）；磁通量有正负但是标量。

矢量运算

平行四边形定则：以两个矢量为邻边作平行四边形，对角线即为合矢量。

三角形定则：将两个矢量首尾相连，从第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段即为合矢量。

正交分解：将矢量分解到相互垂直的两个方向上：

F_x = F·cosθ，F_y = F·sinθ

F = √(F_x² + F_y²)，tanθ = F_y/F_x

0.2 常用数学知识

三角函数

角度	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	√3/3
37°	0.6	0.8	0.75
45°	√2/2	√2/2	1
53°	0.8	0.6	4/3
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	无

常用公式

sin²θ + cos²θ = 1

sin(α±β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ

cos(α±β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ

一元二次方程

ax² + bx + c = 0

x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

x₁ + x₂ = -b/a，x₁·x₂ = c/a

0.3 科学记数法与单位换算

前缀	符号	数值
兆	M	10⁶
千	k	10³
毫	m	10⁻³
微	μ	10⁻⁶
纳	n	10⁻⁹
皮	p	10⁻¹²

常用换算：

1 km/h = 1/3.6 m/s；1 eV = 1.6×10⁻¹⁹ J；1 u = 931.5 MeV/c²

0.4 物理思想方法

• 理想模型法：质点、点电荷、理想气体、光滑表面、轻绳、轻弹簧等。
• 等效替代法：合力与分力、合运动与分运动、等效电路、交流电有效值。
• 控制变量法：研究多个物理量关系时，先固定其他量。
• 极限思维：用 Δt→0 时 Δx/Δt 表示瞬时速度。
• 对称法：利用物理过程的对称性简化问题（如平抛的逆过程）。
• 图像法：利用图像斜率、面积等物理意义分析运动。
• 比例法：利用比例关系快速求解（如圆周运动中各量随 r 的变化）。
• 微元法：将过程分割为微元进行分析。

第一章 运动的描述

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1.1 质点与参考系

机械运动

一个物体相对于另一个物体位置的改变叫做机械运动，简称运动。运动是绝对的，静止是相对的。

质点

定义：用来代替物体的有质量的点，是一种理想化的物理模型。

条件：物体的大小和形状对所研究的问题可以忽略不计时。

能否看作质点的判断：

✅ 研究地球绕太阳公转 → 可以看作质点

❌ 研究地球自转 → 不能看作质点

✅ 研究火车从北京到上海的时间 → 可以看作质点

❌ 研究火车过桥的时间 → 不能看作质点

注意：

质点不是"很小的物体"，能否看作质点与物体本身大小无关，取决于研究的问题。

参考系

定义：描述物体运动时，选作标准的物体。

特点：①参考系可任意选取，一般选地面；②同一运动，参考系不同，运动描述可能不同；③选取参考系的原则是使问题简化。

例题：

甲、乙两人同向行走，甲看乙静止，乙看树后退。问参考系？

解：

甲以乙为参考系看乙，乙相对甲静止；乙以自己为参考系看树，树在后退。

坐标系

在参考系上建立坐标系，可定量描述物体的位置及位置变化：

• 直线运动 → 一维坐标系（x轴）
• 平面运动 → 二维坐标系（x-y平面）
• 空间运动 → 三维坐标系

位置变化：Δx = x₂ - x₁

1.2 位移与路程

物理量	定义	性质	方向
位移	从初位置指向末位置的有向线段	矢量	初→末
路程	物体运动轨迹的实际长度	标量	无

关系：

①一般情况下，位移大小 < 路程；②只有单向直线运动时，位移大小 = 路程；③位移只取决于初末位置，与路径无关。

例题：

物体沿半径为 R 的圆运动一周。

解：

路程 = 2πR，位移 = 0。

时刻与时间间隔

概念	含义	图像表示	例子
时刻	时间轴上的一个点	点	第3秒末、8:00
时间间隔	两个时刻之间的间隔	线段	第3秒内、前3秒

辨析：

"第3秒"指第3秒内，即从第2秒末到第3秒末，时间间隔为1秒。"前3秒"指0~3秒的时间段。

1.3 速度

类型	定义	公式	性质
平均速度	某段时间内的位移与时间的比值	v̄ = Δx/Δt	矢量，方向与Δx同
平均速率	某段时间内的路程与时间的比值	v̄_s = s/Δt	标量
瞬时速度	某时刻（或位置）的速度	v = lim(Δt→0) Δx/Δt	矢量，方向为运动方向
速率	瞬时速度的大小	｜v｜	标量

易错：

①平均速度 ≠ 速度的平均值；②平均速度的大小一般 ≠ 平均速率；③匀速圆周运动速度大小不变但速度是变化的（方向变）。

例题：

物体沿圆运动半周，用时 t，半径 R。

平均速度 = 2R/t（方向水平）

平均速率 = πR/t

1.4 加速度

定义

加速度是描述速度变化快慢的物理量，等于速度变化量与时间的比值。

a = Δv/Δt = (v - v₀)/t

单位：m/s²（米每二次方秒）

性质：矢量，方向与速度变化量 Δv 的方向相同。

速度、速度变化量、加速度的比较

物理量	含义	关系
速度 v	描述运动快慢	与 a 无必然关系
速度变化量 Δv	速度变化的大小和方向	Δv = v - v₀
加速度 a	速度变化的快慢	a = Δv/Δt

加速度与速度的关系

• a 与 v 同向 → 加速运动
• a 与 v 反向 → 减速运动
• a = 0 → 匀速运动或静止
• a 恒定 → 匀变速运动
• a 变化 → 非匀变速运动

常见误区：

❌ 速度大，加速度一定大（错！匀速飞行的高速飞机 a=0）

❌ 速度为零，加速度一定为零（错！竖直上抛最高点 v=0 但 a=g）

❌ 加速度减小，速度一定减小（错！只要 a>0 且与 v 同向，速度仍在增大）

❌ 加速度为负，速度一定减小（错！要看加速度方向与速度方向的关系）

例题：

汽车以 20 m/s 行驶，刹车后经 4s 停下，求加速度。

解：

a = (v - v₀)/t = (0 - 20)/4 = -5 m/s²

负号表示加速度方向与运动方向相反。

1.5 运动图像

x-t 图像（位移-时间图像）

图像特征	物理意义
斜率	速度（斜率为正：正方向；为负：反方向）
截距	初位置
交点	相遇（位置相同）
水平线	静止

注意：

x-t 图像不是物体的运动轨迹！曲线 x-t 图像表示变速直线运动。

v-t 图像（速度-时间图像）

图像特征	物理意义
斜率	加速度
截距	初速度
交点	速度相同（间距极值点）
与时间轴围成的面积	位移（时间轴上方为正，下方为负）
水平线	匀速运动

解题技巧：

① 看"点"：起点、终点、交点、拐点

② 看"线"：直线还是曲线，上升还是下降

③ 看"斜率"：表示什么物理量

④ 看"面积"：图像与时间轴围成的面积是否有意义

例题：

一物体 v-t 图像为直线，0~4s 速度从 0 增至 8m/s，4~8s 速度从 8m/s 减至 0。

求：

8s 内的位移和加速度。

解：

位移 = 图像面积 = (1/2)×8×8 = 32m

0~4s 加速度：a₁ = (8-0)/4 = 2 m/s²

4~8s 加速度：a₂ = (0-8)/4 = -2 m/s²

第二章 匀变速直线运动

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2.1 基本公式

匀变速直线运动：加速度恒定的直线运动。基本公式（取初速度方向为正方向）：

① 速度公式：v = v₀ + at

② 位移公式：x = v₀t + (1/2)at²

③ 速度-位移公式：v² - v₀² = 2ax

④ 平均速度公式：x = [(v₀+v)/2]·t

使用原则

• 无位移 x → 用①（速度公式）
• 无末速度 v → 用②（位移公式）
• 无时间 t → 用③（速度-位移公式）
• 无加速度 a → 用④（平均速度公式）

符号规则

一般取初速度 v₀ 方向为正方向：

• 加速运动：a > 0
• 减速运动：a < 0
• 位移 x > 0：在起点正方向一侧
• 位移 x < 0：在起点负方向一侧

刹车问题：

先判断停车时间！用 t₀ = v₀/|a| 计算刹车时间，若题目时间超过 t₀，则末速度为 0，实际运动时间只有 t₀。

2.2 重要推论

中间时刻速度（时间中点速度）

v_{t/2} = (v₀ + v)/2 = v̄

等于这段时间的平均速度。

中间位置速度（位移中点速度）

v_{x/2} = √[(v₀² + v²)/2]

无论加速还是减速，恒有 v_{x/2} > v_{t/2}。

逐差法（重要！）

在连续相等时间间隔 T 内的位移之差为恒量：

Δx = x₂ - x₁ = x₃ - x₂ = ... = aT²

推广：

x_m - x_n = (m-n)aT²

这是打点计时器实验中求加速度的核心方法：

a = [(x₄+x₅+x₆) - (x₁+x₂+x₃)] / (9T²)

初速度为零的匀加速直线运动的比例关系

① 1T末、2T末、3T末...的瞬时速度之比：

v₁ : v₂ : v₃ : ... = 1 : 2 : 3 : ...

② 1T内、2T内、3T内...的位移之比：

x₁ : x₂ : x₃ : ... = 1² : 2² : 3² : ... = 1 : 4 : 9 : ...

③ 第1个T、第2个T、第3个T...内的位移之比：

x₁ : xⅡ : xⅢ : ... = 1 : 3 : 5 : ...（奇数比）

④ 通过连续相等位移 x 所用时间之比：

t₁ : t₂ : t₃ : ... = 1 : (√2-1) : (√3-√2) : ...

2.3 自由落体运动

定义

物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。是初速度为零的匀加速直线运动。

v₀ = 0，a = g ≈ 9.8 m/s²（方向竖直向下）

粗略计算时取 g = 10 m/s²

基本公式

v = gt

h = (1/2)gt²

v² = 2gh

h₁ : h₂ : h₃ : ... = 1 : 4 : 9 : ...（下落 1s、2s、3s 的距离比）

重力加速度 g

• 赤道处最小，两极处最大
• 随纬度升高而增大
• 随高度升高而减小
• 同一地点，不同物体的 g 相同

例题：

从楼顶自由落下一石块，落地前最后 1s 下落了 15m，求楼高（g=10m/s²）。

解：

设总时间为 t，则：

h = (1/2)gt²

h - 15 = (1/2)g(t-1)²

代入 g=10：

(1/2)×10×t² - (1/2)×10×(t-1)² = 15

5t² - 5(t²-2t+1) = 15

10t - 5 = 15，t = 2s

楼高 h = (1/2)×10×4 = 20m

2.4 竖直上抛运动

定义

以初速度 v₀ 竖直向上抛出，只受重力作用的运动。

两种处理方法

分段法：

• 上升过程：匀减速，a = -g，到最高点 v = 0
• 下降过程：自由落体

上升时间：t_上 = v₀/g

最大高度：H = v₀²/(2g)

总时间：t_总 = 2v₀/g

整体法：视为匀减速直线运动，a = -g

v = v₀ - gt

h = v₀t - (1/2)gt²

v² = v₀² - 2gh

对称性：

①上升和下降经过同一高度时速度大小相等，方向相反；②上升和下降经过同一段距离所用时间相等。

例题：

以 20m/s 竖直上抛小球，求 t=3s 时的位移和速度（g=10m/s²）。

解：

上升时间 t₀ = v₀/g = 2s

3s 时小球已下落 1s

最大高度 H = v₀²/(2g) = 20m

下落 1s 距离 h = (1/2)×10×1 = 5m

位移 = 20 - 5 = 15m（向上）

速度 v = g×1 = 10m/s（向下）

2.5 追及与相遇问题

核心思想

两个物体的位移满足一定关系：

追及问题：x₁ = x₂ + x₀（x₀ 为初始间距）

相遇问题：x₁ + x₂ = L（同向或反向运动）

关键：速度相等时的临界状态

情况	条件	结论
匀加速追匀速	v₁ = v₂ 时	间距最大
匀减速追匀速	v₁ = v₂ 时	若此时未追上则追不上，间距最小
匀速追匀减速	v₁ = v₂ 时	间距最大
恰好追上	v₁ = v₂ 时	间距为 0（恰好相切）

解题方法

1. 画出运动过程示意图，标出初位置、速度、加速度
2. 列出各物体的位移方程
3. 根据位移关系列方程
4. 判断是否有临界状态（速度相等）

例题：

甲车以 10m/s 匀速前进，乙车从后方以 20m/s 行驶，两车间距 50m。乙车以 2m/s² 减速。问能否追上？

解：

速度相等时：20 - 2t = 10 → t = 5s

此时甲位移：x₁ = 10×5 = 50m

乙位移：x₂ = 20×5 - (1/2)×2×25 = 75m

间距变化：75 - 50 - 50 = -25m

即此时乙已超过甲 25m，说明之前已追上。

令 x₂ = x₁ + 50：20t - t² = 10t + 50

t² - 10t + 50 = 0

判别式 Δ = 100 - 200 < 0，方程无解！

重新检查：

乙车停止时间 t' = 20/2 = 10s

乙总位移：x₂ = 20²/(2×2) = 100m

甲位移：x₁ = 10×10 = 100m

x₂ - x₁ = 100 - 100 = 0，恰好在乙停止时追上！

第三章 相互作用——力

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3.1 重力

G = mg （g ≈ 9.8 m/s²）

• 施力物体：地球
• 方向：竖直向下（指向地心附近，不严格指向地心）
• 作用点：重心

重心

物体各部分所受重力的等效作用点。

• 形状规则、质量分布均匀的物体：重心在几何中心
• 质量分布不均匀的物体：重心与形状和质量分布都有关
• 重心不一定在物体上（如空心球、圆环）

重力与万有引力的关系

重力是万有引力的一个分力（另一个分力提供物体随地球自转的向心力）。

G_万 = G_重 + F_向

赤道处：mg = GMm/R² - mω²R

两极处：mg = GMm/R²（无向心力）

3.2 弹力

产生条件

1. 物体直接接触
2. 发生弹性形变

弹力的方向

指向恢复原状的方向，与形变方向相反。

情况	弹力方向
平面接触	垂直于接触面
点面接触	过接触点垂直于面
点与点接触	垂直于公切面
轻绳	沿绳指向绳收缩的方向
轻杆	可沿杆也可不沿杆（需根据平衡条件判断）
弹簧	沿弹簧轴线，指向恢复原长方向

胡克定律

F = kx

• k：劲度系数（N/m），取决于弹簧的材料、粗细、匝数
• x：形变量（伸长或压缩量），不是弹簧长度
• 适用条件：弹簧在弹性限度内

弹簧串联与并联：

串联：1/k_总 = 1/k₁ + 1/k₂

并联：k_总 = k₁ + k₂

3.3 摩擦力

产生条件

1. 接触面粗糙
2. 有正压力（弹力）
3. 有相对运动或相对运动趋势

静摩擦力

0 ≤ f ≤ f_{max}

• 大小：由平衡条件或牛顿第二定律决定
• 方向：与相对运动趋势方向相反
• f_{max}：最大静摩擦力，一般略大于滑动摩擦力

滑动摩擦力

f = μN

• μ：动摩擦因数，与材料和粗糙程度有关，无单位
• N：正压力，不一定等于重力
• 方向：与相对运动方向相反

摩擦力易错点：

① 受静摩擦力的物体可以是运动的（如传送带上的物体）

② 受滑动摩擦力的物体可以是静止的（如地面上被擦的桌子）

③ 摩擦力可以是动力（传送带、人走路）

④ 正压力 N 不一定等于重力 mg（如斜面上 N = mg·cosθ）

⑤ 静摩擦力大小与正压力无关（但最大静摩擦力与正压力有关）

例题：

物体 A 放在 B 上，B 放在光滑水平面上。用力 F 拉 B。已知 A、B 间 μ = 0.4，mA = 2kg，mB = 3kg。求 F 多大时 A、B 开始相对滑动？

解：

临界状态：A 的加速度达到最大值

a_max = μg = 0.4 × 10 = 4 m/s²

对整体：F = (mA+mB)a_max = 5 × 4 = 20N

即 F > 20N 时 A、B 相对滑动。

3.4 受力分析

一般步骤

1. 确定研究对象（单个物体或系统）
2. 隔离研究对象
3. 按顺序分析受力：重力 → 弹力 → 摩擦力 → 其他力
4. 画出受力分析图
5. 检查：不多力、不少力

整体法与隔离法

方法	适用情况	优点
整体法	求系统加速度或外力	忽略内力，简化问题
隔离法	求物体间相互作用力	可以分析单个物体的受力

常用组合：

先用整体法求加速度，再用隔离法求内力。

常见受力模型

• 斜面模型：G_平行 = mg·sinθ（沿斜面向下），G_垂直 = mg·cosθ（垂直斜面向下）
• 轻绳模型：只能受拉力，力沿绳方向，同一根绳各处张力相等
• 轻弹簧模型：弹力沿弹簧轴线，同一弹簧各处弹力相等，弹簧弹力不能突变
• 轻杆模型：可以提供拉力或推力，力方向可以沿杆也可不沿杆

3.5 力的合成与分解

力的合成

求几个力的合力的过程，遵循平行四边形定则。

合力范围：|F₁ - F₂| ≤ F ≤ F₁ + F₂

特殊情况：

• 同向：F = F₁ + F₂
• 反向：F = |F₁ - F₂|
• 垂直：F = √(F₁² + F₂²)
• 相等且夹角为 θ：F = 2F₁·cos(θ/2)
• 相等且夹角为 120°：F = F₁

力的分解

求一个力的分力的过程，遵循平行四边形定则。

确定分解方法的原则：根据力的实际作用效果分解。

• 斜面上物体的重力：分解为沿斜面方向和垂直斜面方向
• 绳拉物体的力：分解为水平方向和竖直方向

正交分解法

将力分解到相互垂直的两个方向（一般选 x、y 轴），便于计算。

ΣF_x = F₁x + F₂x + F₃x + ...

ΣF_y = F₁y + F₂y + F₃y + ...

F_合 = √[(ΣF_x)² + (ΣF_y)²]

tanθ = ΣF_y / ΣF_x

坐标轴选择：

尽量让更多的力落在坐标轴上，减少分解工作量。通常选加速度方向和垂直加速度方向。

3.6 共点力平衡

平衡状态

物体静止或做匀速直线运动的状态。

平衡条件：F_合 = 0

正交分解：ΣF_x = 0，ΣF_y = 0

平衡推论

• 二力平衡：大小相等、方向相反、作用在同一直线上
• 三力平衡：三个力构成封闭三角形；任意两个力的合力与第三个力等大反向
• 多力平衡：任意一个力与其余各力的合力等大反向

动态平衡问题

在变化过程中物体始终处于平衡状态。

常用方法：

• 解析法：列平衡方程，分析变量关系
• 图解法：画力的矢量三角形，利用几何关系分析
• 相似三角形法：力的三角形与几何三角形相似

例题：

用轻绳悬挂重球于光滑墙上。绳长 L，球半径 R，墙高 H。绳拉力 T 和墙的支持力 N 如何变化？

解：

设绳与墙夹角为 θ

由平衡：T·cosθ = mg，T·sinθ = N

若绳变长，θ 减小 → cosθ 增大 → T 减小

N = mg·tanθ，θ 减小 → N 减小

第四章 牛顿运动定律

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4.1 牛顿第一定律（惯性定律）

一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。

内涵

• 力不是维持运动的原因，而是改变运动状态的原因
• 一切物体都有惯性
• 牛顿第一定律不能用实验直接验证（理想实验）

惯性

物体保持原来运动状态的性质。

• 惯性是物体的固有属性，一切物体都有惯性
• 质量是惯性大小的唯一量度
• 惯性与速度、力、位置等无关

易错：

速度越大惯性越大（错！）；静止物体没有惯性（错！）；受力越大惯性越小（错！）

4.2 牛顿第二定律

F_合 = ma

性质

• 矢量性：a 的方向与 F_合 的方向相同
• 瞬时性：a 与 F_合 同时产生、同时变化、同时消失
• 独立性：各方向上的分力产生各方向上的分加速度（F_x = ma_x，F_y = ma_y）
• 同体性：F、m、a 对应同一物体
• 相对性：a 是相对地面的加速度

正交分解形式

ΣF_x = ma_x

ΣF_y = ma_y

例题：

质量为 2kg 的物体在水平面上，受 10N 水平拉力，μ=0.2，求加速度。

解：

N = mg = 20N

f = μN = 4N

F_合 = 10 - 4 = 6N

a = F_合/m = 6/2 = 3 m/s²

4.3 牛顿第三定律

F₁₂ = -F₂₁

特点

• 作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用在同一直线上
• 作用在两个不同物体上，不能求合力，不能抵消
• 同时产生、同时变化、同时消失
• 性质相同（如都是弹力、都是摩擦力等）

与作用力和平衡力的区别

	作用力与反作用力	平衡力
作用对象	两个不同物体	同一物体
力的性质	一定相同	可以不同
变化关系	同时产生、消失	可以独立变化
效果	各自产生效果	相互抵消，合力为零

4.4 力学单位制

国际单位制（SI）

基本量	基本单位	符号
长度	米	m
质量	千克	kg
时间	秒	s
电流	安培	A
温度	开尔文	K
物质的量	摩尔	mol
发光强度	坎德拉	cd

力学导出单位

• 速度：m/s
• 加速度：m/s²
• 力：N（牛顿）= kg·m/s²
• 功：J（焦耳）= N·m = kg·m²/s²
• 功率：W（瓦特）= J/s

4.5 动力学常见模型

① 连接体模型

两个或多个物体相互连接一起运动。

解题策略：

整体法求加速度 → 隔离法求内力

例题：

mA=2kg 和 mB=3kg 叠放，μ_AB=0.3，B 与地面光滑。用 F=10N 拉 B。求 A、B 间摩擦力。

解：

先假设一起运动：

a = F/(mA+mB) = 10/5 = 2 m/s²

A 需要的力：f = mA·a = 2×2 = 4N

最大静摩擦力：f_max = μ_AB·mA·g = 0.3×2×10 = 6N

4N < 6N，所以一起运动，f = 4N

② 传送带模型

关键：判断摩擦力方向（由相对运动方向决定）。

• 物体刚放上：相对传送带向后运动，摩擦力向前（加速）
• 达到共速后：若无相对运动趋势，摩擦力为零
• 倾斜传送带：还要考虑重力沿斜面的分力

③ 斜面模型

沿斜面：mgsinθ - f = ma

垂直斜面：N = mgcosθ

• 光滑斜面：a = gsinθ
• 恰好匀速下滑：μ = tanθ

④ 瞬时加速度问题

剪断绳或弹簧的瞬间，加速度如何变化？

模型	特点	瞬时变化
轻绳	弹力可以突变	剪断瞬间，绳上弹力立即为零
轻弹簧	弹力不能突变	剪断瞬间，弹簧弹力保持不变
轻杆	弹力可以突变	视具体情况而定

4.6 超重与失重

定义

• 超重：物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）大于重力的现象
• 失重：物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）小于重力的现象
• 完全失重：视重为零（a = g，方向向下）

判断方法

加速度方向	现象	视重
向上（a向上）	超重	N = m(g+a) > mg
向下（a向下）	失重	N = m(g-a) < mg
向下且 a=g	完全失重	N = 0

注意：

超重和失重是指"视重"变化，实际重力 mg 不变！与运动方向（速度方向）无关，只与加速度方向有关。

完全失重的例子：

自由落体、抛体运动、环绕地球飞行的航天器内。在完全失重状态下，液体压强为零、弹簧测力计不能测重力、天平不能使用。

第五章 曲线运动

▼

5.1 曲线运动基础

曲线运动的条件

• 速度方向：沿轨迹的切线方向
• 曲线运动一定是变速运动（速度方向改变）
• 条件：合外力（或加速度）方向与速度方向不在同一直线上

运动轨迹的判断

轨迹向合外力方向弯曲（即轨迹在速度和合外力的夹角之间）。

运动的合成与分解

• 合运动与分运动具有等时性、独立性、等效性
• 合运动是物体实际的运动
• 遵循平行四边形定则

小船过河问题

船在静水中速度 v_船，水流速度 v_水，河宽 d。

问题	条件	结果
最短时间过河	船头垂直河岸	t_min = d/v_船
最短位移过河（v_船>v_水）	合速度垂直河岸	s_min = d
最短位移过河（v_船	船头偏向上游	s_min = d·v_水/v_船

5.2 平抛运动

定义

以水平初速度抛出，只受重力作用的运动。是匀变速曲线运动。

运动分解

方向	运动类型	公式
水平（x）	匀速直线	x = v₀t，v_x = v₀
竖直（y）	自由落体	y = (1/2)gt²，v_y = gt

合量公式

合位移：s = √(x²+y²) = √(v₀²t² + g²t⁴/4)

合速度：v = √(v₀² + g²t²)

速度方向：tanθ = v_y/v_x = gt/v₀

位移方向：tanα = y/x = gt/(2v₀)

重要结论

①

tanθ = 2tanα

（速度偏转角的正切是位移偏转角正切的2倍）

② 速度反向延长线过水平位移的中点

③ 平抛运动的轨迹是抛物线：y = g/(2v₀²)·x²

例题：

以 20m/s 水平抛出一小球，求经过 2s 后的位移和速度方向（g=10m/s²）。

解：

x = 20×2 = 40m

y = (1/2)×10×4 = 20m

位移 s = √(40²+20²) = 20√5 ≈ 44.7m

位移方向：tanα = 20/40 = 0.5，α ≈ 26.6°

v_y = 10×2 = 20m/s

速度 v = √(20²+20²) = 20√2 ≈ 28.3m/s

速度方向：tanθ = 20/20 = 1，θ = 45°

5.3 斜抛运动

运动分解

v₀x = v₀cosθ₀，v₀y = v₀sinθ₀

x = v₀cosθ₀·t

y = v₀sinθ₀·t - (1/2)gt²

重要量

飞行时间：T = 2v₀sinθ₀/g

最大高度：H = v₀²sin²θ₀/(2g)

射程：R = v₀²sin2θ₀/g

当 θ₀ = 45° 时，射程最大：R_max = v₀²/g

互补角度（θ 和 90°-θ）的射程相等。

5.4 圆周运动

描述量

物理量	定义	公式	单位
线速度 v	弧长与时间的比值	v = Δs/Δt = 2πr/T	m/s
角速度 ω	角度与时间的比值	ω = Δθ/Δt = 2π/T	rad/s
周期 T	转一圈的时间	T = 2π/ω = 2πr/v	s
频率 f	每秒转数	f = 1/T	Hz
转速 n	每分钟转数	n = 60f	r/min

关系：v = ωr

向心加速度

a = v²/r = ω²r = (2π/T)²r

方向始终指向圆心，只改变速度方向，不改变速度大小。

向心力

F_向 = ma = mv²/r = mω²r

向心力不是一种新的力，而是由其他力提供的合力（或其分力）。

注意：

①向心力由实际力提供，受力分析时不要多画一个向心力；②匀速圆周运动的合外力全部提供向心力；③非匀速圆周运动的合外力有两个分量：切向力（改变速度大小）和向心力（改变速度方向）。

常见模型

① 水平面内的圆周运动

• 转盘上的物体：静摩擦力提供向心力，f = mω²r。临界：μmg = mω²_max·r
• 圆锥摆：T·sinθ = mω²L·sinθ，T·cosθ = mg → ω² = g/(L·cosθ)
• 火车转弯：外轨高于内轨，重力和支持力的合力提供向心力。v_设 = √(gR·tanθ)

② 竖直平面内的圆周运动

模型	最高点临界	说明
绳模型（或内轨道）	v_min = √(gR)	绳只能提供拉力，T=0时v最小
杆模型（或管）	v_min = 0	杆可提供支持力，v=0时杆提供支持力mg
外轨道	v_min = √(gR)	类似绳模型，轨道只能提供推力

绳模型最高点：

T + mg = mv²/R

当 T = 0 时，v_min = √(gR)

从最低点到最高点：(1/2)mv₀² = (1/2)mv² + mg·2R

∴ v₀_min = √(5gR)

5.5 离心运动

定义

做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供所需向心力时，做逐渐远离圆心的运动。

条件

情况	运动
F_供 = mv²/r	做圆周运动
F_供 < mv²/r	做离心运动
F_供 > mv²/r	做向心运动
F_供 = 0	沿切线方向飞出

应用与防止

• 应用：洗衣机脱水、离心分离器、投掷链球
• 防止：汽车转弯限速、砂轮加防护罩

第六章 万有引力与航天

▼

6.1 万有引力定律

开普勒三定律

1. 轨道定律：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
2. 面积定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积。
3. 周期定律：所有行星轨道半长轴的三次方与周期平方的比值相等。

a³/T² = k（k 只与中心天体质量有关）

万有引力定律

F = GMm/r²

• G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²（卡文迪许扭秤实验测得）
• r：两个物体质心之间的距离
• 适用：任何两个有质量的物体（质点或均匀球体）

万有引力的成就

• 预言并发现海王星
• 计算天体质量
• 解释潮汐现象

6.2 天体运动

基本方程

万有引力提供向心力：

GMm/r² = mv²/r = mω²r = m(2π/T)²r = ma_n

天体质量的计算

对于中心天体（如太阳），通过绕行天体（如地球）的运动可求：

M = 4π²r³/(GT²) = v²r/G = ω²r³/G

注意：

只能求中心天体的质量，不能求绕行天体的质量（m 被消去了）！

天体密度的计算

ρ = M/(4πR³/3) = 3π/(GT²)（近地轨道 r≈R 时）

各物理量随轨道半径的变化

物理量	表达式	随 r 增大
线速度 v	√(GM/r)	减小
角速度 ω	√(GM/r³)	减小
周期 T	2π√(r³/GM)	增大
向心加速度 a	GM/r²	减小
动能 Ek	GMm/(2r)	减小
势能 Ep	增大（绝对值减小）	增大
机械能 E	-GMm/(2r)	增大

记忆口诀：

"高轨低速大周期，高轨能大加速度小"

r 越大：v↓、ω↓、a↓、Ek↓，T↑、Ep↑、E↑

变轨问题

• 从低轨到高轨：在切点加速→进入椭圆转移轨道→到达高轨后再次加速稳定
• 从高轨到低轨：在切点减速
• 变轨时：加速后速度先增大（进入椭圆轨道）→到达远地点时速度减小

6.3 宇宙速度

名称	数值	意义
第一宇宙速度 v₁	7.9 km/s	环绕地球的最小速度（最大环绕速度），也是近地轨道速度
第二宇宙速度 v₂	11.2 km/s	脱离地球引力束缚的最小速度
第三宇宙速度 v₃	16.7 km/s	脱离太阳引力束缚的最小速度

v₁ = √(gR) = √(GM/R) ≈ 7.9 km/s

v₂ = √2·v₁ ≈ 11.2 km/s

易错：

①发射速度越大，轨道越高，但环绕速度反而越小；②7.9km/s 是最小发射速度（进入轨道），也是最大环绕速度。

6.4 同步卫星

五个"一定"

1. 轨道平面一定：在赤道平面上
2. 周期一定：T = 24h
3. 角速度一定：ω = 2π/T = 地球自转角速度
4. 高度一定：h ≈ 3.6×10⁴ km（约 6R_地）
5. 速率一定：v ≈ 3.1 km/s

由 GMm/(R+h)² = m(2π/T)²(R+h) 得：

h = ∛(GMT²/4π²) - R ≈ 3.6×10⁷ m

近地卫星 vs 同步卫星：

近地卫星周期约 84 分钟，速度约 7.9km/s；同步卫星周期 24 小时，速度约 3.1km/s。

6.5 双星与多星系统

双星系统

两颗星绕共同质心做圆周运动。

特点：

① 角速度相同：ω₁ = ω₂ = ω

② 向心力相等：F₁ = F₂（由相互引力提供）

③ r₁ + r₂ = L（L为两星距离）

④ m₁r₁ = m₂r₂（质心条件）

由 Gm₁m₂/L² = m₁ω²r₁ = m₂ω²r₂

ω² = G(m₁+m₂)/L³

T = 2π√(L³/(G(m₁+m₂)))

三星系统

三颗等质量星在等边三角形顶点，绕中心转动：

每颗星受到另外两颗星的引力合力提供向心力

F = 2·(Gm²/L²)·cos30° = √3·Gm²/L² = mω²r

第七章 机械能

▼

7.1 功

定义

力对物体做的功等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角余弦的乘积。

W = Fs·cosθ

• 单位：焦耳（J）
• 功是标量，但有正负
• θ < 90°：做正功（力是动力）
• θ = 90°：不做功
• θ > 90°：做负功（力是阻力），也说物体克服该力做了功

合力的功

两种计算方法：

方法1：W_合 = W₁ + W₂ + W₃ + ...（各力做功的代数和）

方法2：W_合 = F_合·s·cosθ（合力做的功）

变力做功

当力的大小或方向变化时：

• 平均力法：若力随位移线性变化，用平均力 F̄ = (F₁+F₂)/2
• 图像法：F-s 图像下方的面积表示功
• 微元法：将过程分割为微元，每段近似恒力做功
• 功率法：若功率恒定，W = Pt
• 功能关系法：用动能定理等间接求功

例题：

弹簧原长 L，劲度系数 k，拉伸到长度 L+x，求弹力做的功。

解：

弹力随位移线性变化：F = kx

平均力：F̄ = (0 + kx)/2 = kx/2

W = -F̄·x = -kx²/2（负功，因为弹力方向与位移相反）

7.2 功率

定义

单位时间内做的功，表示做功的快慢。

平均功率：P = W/t

瞬时功率：P = Fv·cosθ

• 单位：瓦特（W），1W = 1J/s
• 常用单位：kW、MW

额定功率与实际功率

• 额定功率：机器正常工作时的最大功率
• 实际功率：机器实际工作时的功率，P_实 ≤ P_额

机车启动问题

启动方式	过程	最终状态
恒定功率启动	P 不变 → v↑ → F=P/v↓ → a=(F-f)/m↓ → 匀速	F = f，v_max = P/f
恒定加速度启动	a 不变 → F 不变 → v↑ → P=Fv↑ → 达到P_额后P不变 → a↓ → 匀速	F = f，v_max = P_额/f

两种启动方式的比较：

最终最大速度相同（都等于 P/f），但恒定功率启动达到的最大速度更快（加速时间短）。

7.3 重力势能

Ep = mgh

• h 是相对参考面的高度
• 重力势能是标量，但有正负
• 重力势能具有相对性（与参考面选择有关）
• 重力势能属于物体和地球共有的

重力做功

W_G = mgh₁ - mgh₂ = -ΔEp

特点：重力做功与路径无关，只取决于初末位置的高度差。

7.4 弹性势能

Ep_弹 = (1/2)kx²

• x 是弹簧的形变量
• 弹力做正功，弹性势能减小
• 弹力做负功，弹性势能增大

W_弹 = -ΔEp_弹 = (1/2)kx₁² - (1/2)kx₂²

7.5 动能定理

动能

Ek = (1/2)mv²

动能是标量，恒为正值。

动能定理

W_合 = ΔEk = (1/2)mv² - (1/2)mv₀²

合外力对物体做的功等于物体动能的变化量。

适用条件

• 直线运动、曲线运动均可
• 恒力、变力做功均可
• 单个过程、多个过程均可

解题步骤

1. 确定研究对象和过程
2. 分析受力，明确各力做功情况（正负）
3. 确定初末状态的动能
4. 列方程求解

例题：

质量 m 的物体从高 h 处自由下落，落地后陷入沙坑深度 d 停下。求沙的平均阻力。

解：

全过程用动能定理（从释放到停止）：

重力做功：mg(h+d)

沙阻力做功：-fd

初末动能都为 0

mg(h+d) - fd = 0

f = mg(h+d)/d = mg(1 + h/d)

7.6 机械能守恒定律

Ek₁ + Ep₁ = Ek₂ + Ep₂

或：(1/2)mv₁² + mgh₁ = (1/2)mv₂² + mgh₂

守恒条件

1. 只有重力（或弹力）做功
2. 其他力不做功，或做功的代数和为零

判断方法

• 做功角度：除重力、弹力外，其他力是否做功
• 能量角度：系统是否有其他形式能的转化

表达形式

① 守恒式：E₁ = E₂（需选参考面）

② 转化式：ΔEk = -ΔEp（不需要参考面）

③ 转移式：ΔE_A = -ΔE_B（A减少的 = B增加的）

例题：

光滑曲面上，小球从高度 h 处静止滑下，求到底端的速度。

解：

只有重力做功，机械能守恒：

mgh = (1/2)mv²

v = √(2gh)

7.7 功能关系（重要！）

力做功	能量变化	公式
重力做功	重力势能变化	W_G = -ΔEp_重
弹力做功	弹性势能变化	W_弹 = -ΔEp_弹
电场力做功	电势能变化	W_电 = -ΔEp_电
合外力做功	动能变化	W_合 = ΔEk
除重力、弹力外的力做功	机械能变化	W_其他 = ΔE_机
一对滑动摩擦力做功	机械能→内能	Q = f·s_相对
电流做功	电能→其他能	W = UIt
克服安培力做功	其他能→电能	W_安 = ΔE_电

功能原理：

除重力和弹力外其他力做的功 = 机械能的变化量。这是比机械能守恒更普遍的关系。

7.8 能量守恒定律

能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移过程中，能量的总量保持不变。

能量守恒的应用

E_初 = E_末（系统初态总能量 = 末态总能量）

ΔE_减少 = ΔE_增加（某种能量减少量 = 其他能量增加量）

摩擦生热

Q = f·s_相对

其中 s_相对 是两个接触物体之间的相对位移（相对路程）。

区分：

①摩擦力对单个物体做功 = f·s_物；②摩擦生热 = f·s_相对。二者一般不相等！

第八章 动量

▼

8.1 动量与冲量

动量

p = mv

• 单位：kg·m/s
• 矢量，方向与速度方向相同
• 动量是状态量，对应某一时刻

动量的变化

Δp = p₂ - p₁ = mv₂ - mv₁

一维情况下（取正方向）：Δp = mv₂ - mv₁（代数量）

冲量

I = Ft（恒力）

• 单位：N·s
• 矢量，方向与力的方向相同
• 冲量是过程量，对应力在时间上的积累

变力冲量：

用 F-t 图像的面积表示。

8.2 动量定理

I_合 = Δp

F_合·t = mv - mv₀

合外力的冲量等于动量的变化量。

应用

• 解释现象：作用时间短→力大（锤子钉钉子）；作用时间长→力小（安全气囊、接球时手后缩）
• 求解变力冲量：I = Δp

例题：

质量 0.5kg 的球以 6m/s 水平撞墙，以 4m/s 反弹，作用时间 0.01s。求平均冲击力。

解：

取初速度方向为正：

Δp = mv₂ - mv₁ = 0.5×(-4) - 0.5×6 = -5 kg·m/s

F = Δp/t = -5/0.01 = -500N

大小为 500N，方向与初速度相反。

8.3 动量守恒定律

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'

守恒条件

1. 严格守恒：系统不受外力或合外力为零
2. 某方向守恒：该方向上合外力为零
3. 近似守恒：内力远大于外力（如碰撞、爆炸）

常见应用

• 碰撞
• 爆炸
• 反冲
• 子弹打木块
• 人船模型

人船模型

人从船头走到船尾（不计水的阻力）：

mv_人 = Mv_船（任意时刻）

ms_人 = Ms_船（全程）

s_人 + s_船 = L（船的长度）

∴ s_船 = mL/(m+M)，s_人 = ML/(m+M)

8.4 碰撞

碰撞分类

类型	动量	动能	特点
弹性碰撞	守恒	守恒	无能量损失
非弹性碰撞	守恒	有损失	部分动能转化为内能
完全非弹性碰撞	守恒	损失最大	碰后共速，粘在一起

弹性碰撞公式（一动碰一静）

质量为 m₁ 的物体以 v₁ 碰撞静止的 m₂：

v₁' = (m₁-m₂)v₁/(m₁+m₂)

v₂' = 2m₁v₁/(m₁+m₂)

特殊情况

• 等质量：m₁ = m₂ → v₁' = 0，v₂' = v₁（速度交换）
• 大撞小：m₁ >> m₂ → v₁' ≈ v₁，v₂' ≈ 2v₁
• 小撞大：m₁ << m₂ → v₁' ≈ -v₁，v₂' ≈ 0

碰撞的合理性判断

1. 动量守恒：p_初 = p_末
2. 动能不增加：Ek_初 ≥ Ek_末
3. 运动符合实际：如碰后后面的物体速度不能大于前面的

8.5 反冲与火箭

反冲现象

系统在内力作用下，其中一部分向某方向运动，其余部分向相反方向运动的现象。

0 = m₁v₁ + m₂v₂ → v₂ = -(m₁/m₂)v₁

应用

• 火箭发射：利用喷出气体的反冲力
• 枪炮后坐
• 章鱼喷水前进

第九章 静电场

▼

9.1 电荷与库仑定律

电荷

• 元电荷：e = 1.6×10⁻¹⁹ C（密立根油滴实验测得）
• 电荷守恒：电荷不能创生和消灭，只能转移
• 起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电
• 电荷量子化：一切带电体的电荷量都是元电荷的整数倍

库仑定律

F = kq₁q₂/r²

• k = 9.0×10⁹ N·m²/C²（静电力常量）
• 适用条件：真空中的点电荷
• 点电荷：带电体的大小和形状对库仑力可以忽略（理想模型）

库仑力与万有引力的比较

	库仑力	万有引力
公式	F = kq₁q₂/r²	F = GMm/r²
常量	k = 9.0×10⁹	G = 6.67×10⁻¹¹
力的性质	可吸可斥	只吸引
强度	微观粒子间极强	天体间显著

库仑定律与万有引力的比值：

两个质子间 F_电/F_万 ≈ 10³⁶，因此微观粒子间万有引力可忽略。

9.2 电场强度

定义

E = F/q （定义式）

• 单位：N/C 或 V/m
• 矢量，方向为正电荷受力方向
• E 只与电场本身有关，与检验电荷 q 无关

点电荷电场

E = kQ/r² （决定式）

匀强电场

E = U/d

U 为电势差，d 为沿电场方向的距离。

电场叠加

多个点电荷产生的电场，某点的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。

例题：

等量同种电荷 +Q 相距 2a，求连线中点和中垂线上距中点 a 处的电场强度。

解：

连线中点：由对称性，两电荷在中点的电场等大反向，E_合 = 0

中垂线上距中点 a 处：每个电荷在该点的场强 E₁ = kQ/(√2·a)² = kQ/(2a²)

与中垂线夹角 45°，合场强沿中垂线向外：

E = 2E₁·cos45° = 2·(kQ/2a²)·(√2/2) = √2kQ/(2a²)

9.3 电场线

特点

1. 从正电荷（或无穷远）出发，终止于负电荷（或无穷远）
2. 电场线的疏密表示电场强弱（密→强）
3. 某点的切线方向为该点的场强方向
4. 电场线不相交、不闭合
5. 电场线不是实际存在的线，是为了形象描述电场而引入的

常见电场线分布

场源	特点
正点电荷	辐射状向外
负点电荷	辐射状向内
等量同种电荷	连线中点 E=0，中垂线上 E 先增后减
等量异种电荷	连线中点 E 最大，中垂线为等势面
匀强电场	平行等距直线

9.4 电势与电势差

电势

φ = Ep/q （定义式）

• 单位：伏特（V）
• 标量，有正负
• 沿电场线方向电势降低
• 电势具有相对性（与零势面选择有关），一般取无穷远处为零

电势差（电压）

U_AB = φ_A - φ_B = W_AB/q

• 与零势面选择无关
• U_AB = -U_BA
• 匀强电场中：U = Ed

电势高低的判断

1. 沿电场线方向电势降低
2. 正电荷从高电势移到低电势，电场力做正功
3. 等势面密集处电势变化快

9.5 电势能与电场力做功

电势能

Ep = qφ

• 电势能属于电荷和电场共有
• 电势能具有相对性

电场力做功

W_AB = qU_AB = q(φ_A - φ_B) = Ep_A - Ep_B = -ΔEp

特点：电场力做功与路径无关，只取决于初末位置的电势差。

易错：

电势能大小不仅取决于电势，还取决于电荷的正负！

正电荷：电势越高，电势能越大

负电荷：电势越高，电势能越小

9.6 等势面

特点

1. 等势面上各点电势相等
2. 电场线与等势面处处垂直
3. 电场线从电势高的等势面指向电势低的等势面
4. 等势面密集处电场强
5. 电荷在等势面上移动时，电场力不做功
6. 等势面不相交

常见等势面

• 点电荷：同心球面
• 等量同种电荷：连线中点附近"8"字形
• 等量异种电荷：中垂线是等势面（φ=0）
• 匀强电场：垂直于电场线的平行平面

9.7 电容器

电容

C = Q/U = ΔQ/ΔU

• 单位：法拉（F），1F = 10⁶μF = 10¹²pF
• 电容是电容器本身的性质，与 Q、U 无关

平行板电容器

C = εS/(4πkd)

• S：正对面积
• d：板间距
• ε：介电常数（真空为1）

动态分析（重要考点）

条件	变化	结果
始终接电源（U不变）	d 增大	C↓，Q=CU↓，E=U/d↓
S 减小	C↓，Q↓，E不变
插入介质	C↑，Q↑，E不变
充电后断开（Q不变）	d 增大	C↓，U=Q/C↑，E=U/d=Q/(Cd)=4πkQ/εS 不变！
S 减小	C↓，U↑，E=U/d=4πkQ/(εS)↑
插入介质	C↑，U↓，E↓

9.8 带电粒子在电场中的运动

① 加速

qU = (1/2)mv² - (1/2)mv₀²

若从静止：v = √(2qU/m)

② 偏转（类平抛）

带电粒子以 v₀ 垂直射入匀强电场（板长 L，板间距 d，电压 U）：

水平：x = v₀t，t = L/v₀

竖直：a = qE/m = qU/(md)

偏转距离：y = (1/2)at² = qUL²/(2mdv₀²)

偏转角：tanθ = v_y/v₀ = at/v₀ = qUL/(mdv₀²)

③ 先加速后偏转

加速：qU₁ = (1/2)mv₀²

偏转：y = qU₂L²/(2mdv₀²) = U₂L²/(4dU₁)

tanθ = U₂L/(2dU₁)

重要结论：

偏转距离和偏转角与粒子的比荷（q/m）无关！只取决于加速和偏转电压。即不同带电粒子经相同加速和偏转后，打在屏上同一点。

第十章 恒定电流

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10.1 电流与电阻

电流

I = q/t

• 单位：安培（A），1A = 1C/s
• 标量（虽有方向但不遵循矢量叠加）
• 方向规定为正电荷定向移动的方向

微观表达式

I = neSv

• n：单位体积内的自由电子数
• e：电子电荷量
• S：导体横截面积
• v：电子定向移动速度（很小，约 10⁻⁵ m/s）

电阻

R = ρL/S （电阻定律）

• ρ：电阻率，与材料和温度有关
• 金属：温度升高→ρ增大
• 半导体：温度升高→ρ减小
• 超导体：温度低于临界温度时 ρ = 0

10.2 欧姆定律

部分电路欧姆定律

I = U/R

适用于纯电阻电路（金属导电、电解质溶液）。

伏安特性曲线

• I-U 图像：斜率 = 1/R
• 线性元件：I-U 为过原点直线（如金属导体）
• 非线性元件：I-U 为曲线（如二极管、灯泡）

10.3 串并联电路

	串联	并联
电流	I = I₁ = I₂ = ...	I = I₁ + I₂ + ...
电压	U = U₁ + U₂ + ...	U = U₁ = U₂ = ...
电阻	R = R₁ + R₂ + ...	1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + ...
分压分流	U₁/U₂ = R₁/R₂	I₁/I₂ = R₂/R₁
功率	P₁/P₂ = R₁/R₂	P₁/P₂ = R₂/R₁

电流表和电压表的改装

改装	方法	公式
电流表→大量程电流表	并联小电阻（分流）	R_并 = IgRg/(I-Ig)
电流表→电压表	串联大电阻（分压）	R_串 = U/Ig - Rg

电桥电路

惠斯通电桥平衡条件：R₁/R₂ = R₃/R₄，此时桥臂中无电流。

10.4 电功与电功率

电功：W = UIt = I²Rt = U²t/R

电功率：P = UI = I²R = U²/R

焦耳定律：Q = I²Rt

纯电阻 vs 非纯电阻

类型	特点	关系	例子
纯电阻	电能全部转化为内能	W = Q	电炉、电灯
非纯电阻	电能转化为内能+其他能	W = Q + W_其他 W > Q	电动机、电解槽

注意：

非纯电阻电路中，P = UI > I²R，不能用 U²/R 计算电功率！

例题：

直流电动机，U=220V，R=10Ω，I=5A。求输入功率、热功率、机械功率。

解：

输入功率：P_入 = UI = 1100W

热功率：P_热 = I²R = 250W

机械功率：P_机 = P_入 - P_热 = 850W

效率：η = P_机/P_入 = 77.3%

10.5 闭合电路欧姆定律

电动势

反映电源将其他形式能量转化为电能的本领，等于非静电力将单位正电荷从负极移送到正极所做的功。

ε = W_非/q

电动势等于外电路断路时电源两端的电压。

闭合电路欧姆定律

I = ε/(R+r)

r 为电源内阻。

路端电压

U = ε - Ir = IR

• 外电阻 R 增大 → I 减小 → U 增大
• R → ∞（断路）：I = 0，U = ε
• R = 0（短路）：I = ε/r，U = 0（危险！）

U-I 图像

U-I 图像为直线：U = ε - Ir

• 纵轴截距 = ε（电动势）
• 斜率绝对值 = r（内阻）
• 横轴截距 = ε/r（短路电流）

电源的功率与效率

总功率：P_总 = εI

输出功率：P_出 = UI = I²R

内耗功率：P_内 = I²r

效率：η = P_出/P_总 = U/ε = R/(R+r)

最大输出功率：

当 R = r 时，P_出最大：P_max = ε²/(4r)

此时效率为 50%。

10.6 实验：电阻测量

伏安法测电阻

接法	适用	系统误差	测量值
电流表外接	R 较小（R << R_V）	电压表分流	偏小
电流表内接	R 较大（R >> R_A）	电流表分压	偏大

临界电阻：R_c = √(R_A·R_V)

R < R_c 用外接；R > R_c 用内接

欧姆表测电阻

• 使用前要调零
• 选倍率使指针在中间附近
• 换挡后必须重新调零
• 读数 = 表盘刻度 × 倍率

替代法与电桥法

用于精确测量电阻。

第十一章 磁场

▼

11.1 磁现象与磁感应强度

磁场

• 磁体、电流、运动电荷周围都存在磁场
• 磁场对放入其中的磁体、电流、运动电荷有力的作用
• 安培分子电流假说：一切磁现象源于电荷的运动

磁感应强度

B = F/(IL) （导线垂直于磁场时）

• 单位：特斯拉（T），1T = 1N/(A·m)
• 矢量，方向为小磁针 N 极受力方向
• 磁感线的疏密表示 B 的大小

常见磁场分布

• 条形磁铁：N 极出、S 极入
• 通电直导线：同心圆，方向用安培定则（右手螺旋定则）
• 通电螺线管：类似条形磁铁，内部为匀强磁场
• 环形电流：内部磁场较强

磁通量

Φ = B·S·cosθ

• 单位：韦伯（Wb）
• 标量，有正负
• θ 为面的法线与磁场的夹角
• Φ = B·S_⊥（S_⊥ 为垂直于磁场的投影面积）

11.2 安培力

F = BIL·sinθ

• θ 为电流方向与磁场方向的夹角
• 当 I⊥B 时：F = BIL
• 当 I∥B 时：F = 0

方向判断：左手定则

伸开左手，使拇指与四指垂直，让磁力线穿过手心，四指指向电流方向，拇指所指方向即为安培力方向。

弯曲导线的安培力

F = BI·L_有效

L_有效 为导线两端点的直线距离（有效长度）。

例题：

长 L、通电流 I 的半圆形导线放在匀强磁场 B 中，磁场垂直纸面向里。求安培力。

解：

有效长度为直径 2R = 2L/π（半圆弧长为 L）

不对，如果半圆弧长为 L，则直径 = 2L/π

F = BI·(2L/π)，方向向上（左手定则）

11.3 洛伦兹力

f = qvB·sinθ

• θ 为速度方向与磁场方向的夹角
• 当 v⊥B 时：f = qvB
• 当 v∥B 时：f = 0

方向判断

左手定则：正电荷→四指指向速度方向；负电荷→四指指向速度反方向。

洛伦兹力的特点

• 永远垂直于速度，不做功
• 只改变速度方向，不改变速度大小
• 不改变动能

安培力与洛伦兹力的关系

安培力是大量运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。

11.4 带电粒子在磁场中的圆周运动

当 v⊥B 时，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：

qvB = mv²/r

半径：r = mv/(qB)

周期：T = 2πr/v = 2πm/(qB)

重要结论：

① 周期与速度、半径无关！

② 运动时间 t = (θ/2π)·T = θm/(qB)（θ为圆心角）

③ 粒子转过的圆心角 = 速度偏转角

解题步骤

1. 确定圆心：过入射点和出射点作速度的垂线，交点即圆心
2. 求半径：利用几何关系
3. 求时间：t = (θ/2π)·T

例题：

正电荷 q、质量 m，以 v 垂直射入宽度为 d 的匀强磁场（磁感应强度 B），从另一侧射出。求偏转角和在磁场中的时间。

解：

轨道半径：r = mv/(qB)

由几何关系：sinθ = d/r = qBd/(mv)

运动时间：t = θr/v = θm/(qB)（θ 用弧度）

11.5 磁场的应用

① 质谱仪

利用电场加速和磁场偏转测定粒子的比荷或质量。

加速：qU = (1/2)mv²

磁场偏转：r = mv/(qB)

联立：r = (1/B)·√(2mU/q)

∴ m = qB²r²/(2U)

② 回旋加速器

交变电场加速，匀强磁场使粒子回旋。

最大动能：Ek_max = (q²B²R²)/(2m)（R为D形盒半径）

交变电场周期：T = 2πm/(qB)（与粒子回旋周期相同）

局限：

相对论效应使粒子质量增大，周期变长，最终与交变电场不同步。

③ 速度选择器

正交的电场和磁场，只有特定速度的粒子能直线通过。

qE = qvB → v = E/B

与粒子的电荷量、质量、正负无关！

④ 霍尔效应

导体中通电流并加垂直磁场，在垂直于电流和磁场的方向产生电势差。

霍尔电压：U_H = kIB/d

k 为霍尔系数，d 为厚度

⑤ 磁流体发电机

等离子体射入磁场，正负电荷分别偏转到两个极板，产生电动势。

ε = Bdv（d为板间距，v为等离子体速度）

第十二章 电磁感应

▼

12.1 磁通量

Φ = B·S·cosθ = B·S_⊥

• 标量，但有正负
• 穿过某面积的磁力线条数
• 磁通量的变化：ΔΦ = Φ₂ - Φ₁

易错：

①Φ=0 不代表 B=0（可能面与 B 平行）；②Φ 大不代表 ΔΦ 大；③Φ=0 时 ΔΦ/Δt 可以很大。

12.2 电磁感应现象

产生条件

穿过闭合回路的磁通量发生变化。

三种情况

1. B 不变，S 变化（如导体切割磁力线）
2. S 不变，B 变化（如变压器）
3. B、S 都变或夹角变化（如旋转线圈）

12.3 法拉第电磁感应定律

ε = n·ΔΦ/Δt

• n：线圈匝数
• ε 为平均感应电动势（对应某段时间）
• 感应电动势的大小取决于磁通量的变化率，而非变化量

感应电动势的大小

• 由磁通量变化率决定，与回路电阻无关
• 感应电流 I = ε/R_总
• 流过截面的电荷量：q = I·Δt = (ε/R)·Δt = nΔΦ/R

电荷量公式：

q = nΔΦ/R_总（与时间无关！）

12.4 楞次定律

感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。

理解"阻碍"

• 阻碍的是"变化"，不是阻碍磁通量本身
• Φ 增大时：感应磁场与原磁场反向（"增反"）
• Φ 减小时：感应磁场与原磁场同向（"减同"）

应用口诀

• 增反减同：磁通量增加时感应磁场反向
• 来拒去留：磁铁靠近时排斥，远离时吸引
• 增缩减扩：磁通量增大时线圈收缩（减小面积）
• 阻碍相对运动：感应电流的效果总是阻碍产生感应电流的原因

判断感应电流方向的步骤

1. 确定原磁场方向
2. 判断磁通量的变化（增还是减）
3. 由楞次定律确定感应磁场方向
4. 用安培定则确定感应电流方向

右手定则

适用于导体切割磁力线的情况：

伸开右手，拇指与四指垂直，拇指指向导体运动方向，让磁力线穿过手心，四指方向为感应电流方向。

12.5 导体切割磁力线

ε = BLv·sinθ

• L：导体有效长度
• v：导体速度
• θ：v 与 B 的夹角
• 当 v⊥B 时：ε = BLv

转动切割

导体棒绕一端在磁场中匀速转动（角速度 ω）：

ε = (1/2)BL²ω

导轨-导体棒模型

质量为 m 的导体棒在水平导轨上，受外力 F 或初速度 v₀：

安培力：F_安 = BIL = B²L²v/R_总

运动方程：F - B²L²v/R = ma

最终匀速时：a = 0，F = B²L²v/R → v = FR/(B²L²)

单棒下滑模型（倾斜导轨）

mgsinθ - B²L²v/R = ma

最终匀速：v_m = mgRsinθ/(B²L²)

12.6 自感与涡流

自感现象

导体本身电流变化引起的电磁感应现象。

自感电动势：ε_L = L·ΔI/Δt

• L：自感系数（亨利 H），与线圈匝数、大小、有无铁芯有关
• 自感电动势总是阻碍电流变化（不是阻止）

通电自感与断电自感

情况	现象	原因
通电	电流逐渐增大	自感电动势阻碍电流增大
断电	灯泡闪亮后熄灭（并联时）	自感电动势维持电流继续流动

涡流

块状金属在变化磁场中产生的感应电流（旋涡状）。

• 应用：电磁炉、金属探测仪、真空冶炼炉
• 防止：变压器铁芯用硅钢片叠成（减小涡流损耗）

12.7 电磁感应中的能量转化

克服安培力做功 = 产生的电能

W_安 = ΔE_电 = Q_热（纯电阻电路）

能量守恒

外力做功 = 动能变化 + 电能（转化为焦耳热等）

F·s = ΔEk + Q

或：机械能减少量 = 电能增加量

例题：

导体棒从高处下滑到水平面后进入磁场区域，最终停下。求产生的热量。

解：

由能量守恒：

Q = mgh + (1/2)mv₀²（下滑获得的能量全部转化为热量）

第十三章 交变电流

▼

13.1 交变电流的产生

线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，产生正弦交变电流。

e = Em·sinωt = NBSω·sinωt

• N：线圈匝数
• B：磁感应强度
• S：线圈面积
• ω：角速度
• Em = NBSω：最大值（电动势峰值）

中性面与垂直面

位置	磁通量 Φ	电动势 e
中性面（⊥B）	最大 Φ_m = NBS	零
垂直中性面（∥B）	零	最大 E_m = NBSω

注意：

经过中性面时，电流方向改变。一个周期内两次经过中性面，电流方向改变两次。

13.2 交变电流的四值

值	定义	公式	用途
瞬时值	某一时刻的值	e = Emsinωt	计算某时刻的力、功率
最大值	峰值	Em = NBSω	电容器耐压值
有效值	热效应等效的直流值	E = Em/√2	电功率、电表读数、保险丝
平均值	一段时间的平均	E̅ = nΔΦ/Δt	计算电荷量 q=E̅Δt/R

易错：

①有效值与最大值的关系 E = Em/√2 仅适用于正弦交流电；②计算电功、电功率用有效值；③计算电荷量用平均值。

正弦交流电有效值推导：

设电阻 R 中通以 i = Imsinωt，一个周期内的热量：

Q = ∫₀ᵀ i²R dt = I²R·T

解得：I = Im/√2

13.3 电感和电容对交流电的作用

元件	对直流	对交流	特点
电感 L	通直流	阻交流（感抗 X_L = 2πfL）	通低频，阻高频
电容 C	隔直流	通交流（容抗 X_C = 1/(2πfC)）	通高频，阻低频

13.4 变压器

原理

利用互感现象，将交变电压从一个线圈传输到另一个线圈。

理想变压器公式

电压比：U₁/U₂ = n₁/n₂

电流比（一个副线圈）：I₁/I₂ = n₂/n₁

功率关系：P₁ = P₂（无损耗）

多副线圈

U₁/n₁ = U₂/n₂ = U₃/n₃ = ...

n₁I₁ = n₂I₂ + n₃I₃ + ...（安匝数守恒）

动态分析：

① U₁ 决定 U₂（U₂ = U₁·n₂/n₁，与负载无关）

② I₂ 决定 I₁（P₂ = P₁，副线圈功率决定原线圈功率）

③ 负载电阻减小 → I₂ 增大 → P₂ 增大 → I₁ 增大

13.5 远距离输电

输电线路的损耗

功率损失：P_损 = I²R_线

电压损失：U_损 = IR_线

输送功率：P = UI

减小损耗的方法

1. 减小电阻 R（用粗导线、低电阻率材料）
2. 提高输电电压 U（最有效）

P_损 = (P/U)²·R_线 = P²R_线/U²

提高 n 倍电压 → 损耗减小到 1/n²！

输电模型

发电厂 → 升压变压器 → 高压输电线 → 降压变压器 → 用户

P_发 = P_输 = P_用 + P_损

U_输 = U_升 = U_降 + U_损

第十四章 热学

▼

14.1 分子动理论

基本内容

1. 物质由大量分子组成
2. 分子永不停息地做无规则运动
3. 分子间存在相互作用力

分子的大小

• 分子直径：约 10⁻¹⁰ m（1 Å）
• 分子质量：约 10⁻²⁶ kg
• 油膜法测直径：d = V/S（V 为油滴体积，S 为油膜面积）

阿伏伽德罗常数

N_A = 6.02 × 10²³ /mol

应用：

分子质量：m₀ = M/N_A（M 为摩尔质量）

分子体积：V₀ = V_mol/N_A（V_mol 为摩尔体积）

分子数：N = nN_A = (m/M)N_A

分子热运动

• 布朗运动：悬浮在液体中的固体微粒的无规则运动。是液体分子撞击的结果。微粒越小、温度越高，布朗运动越明显。
• 扩散现象：不同物质相互接触时彼此进入对方的现象。证明分子在做无规则运动。

辨析：

布朗运动不是分子的运动，而是微粒的运动，但反映了液体分子的无规则运动。

分子力

分子间距	分子力	表现
r < r₀（r₀≈10⁻¹⁰m）	斥力 > 引力	表现为斥力
r = r₀	引力 = 斥力	合力为零
r > r₀	引力 > 斥力	表现为引力
r > 10r₀	分子力可忽略	—

14.2 温度与内能

温度

• 宏观：表示物体冷热程度
• 微观：是分子平均动能的标志
• 温度相同 → 分子平均动能相同（与分子种类无关）

热力学温度：T = t + 273.15（K）

分子动能

• 分子平均动能只与温度有关
• 同一温度下，不同分子速率不同（遵循麦克斯韦分布）
• 温度升高 → 分子平均动能增大，但不代表每个分子的动能都增大

分子势能

• 与分子间距有关，宏观上与体积有关
• r = r₀ 时分子势能最小
• r 从 r₀ 增大或减小，分子势能都增大

内能

内能 = 所有分子动能之和 + 所有分子势能之和

• 与温度、体积、物质量有关
• 内能是状态量
• 一切物体都有内能

14.3 热力学定律

热力学第一定律

ΔU = W + Q

• ΔU：内能变化（增为正）
• W：外界对物体做的功（外对物做正功为正）
• Q：物体吸收的热量（吸热为正）

热力学第二定律

• 克劳修斯表述：热量不能自发地从低温物体传到高温物体。
• 开尔文表述：不可能从单一热源吸热，全部用来做功，而不引起其他变化。
• 微观解释：自然过程总是向着无序度增大（熵增大）的方向进行。

能量转化和守恒

第一类永动机不可能实现（违反能量守恒）。

第二类永动机不可能实现（违反热力学第二定律）。

14.4 气体定律

玻意耳定律（等温变化）

pV = C（温度 T 不变）

p₁V₁ = p₂V₂

p-V 图像为双曲线。

查理定律（等容变化）

p/T = C（体积 V 不变）

p₁/T₁ = p₂/T₂

p-T 图像为过原点直线。

盖-吕萨克定律（等压变化）

V/T = C（压强 p 不变）

V₁/T₁ = V₂/T₂

理想气体状态方程

pV/T = C

p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂

pV = nRT（克拉珀龙方程）

注意：

温度必须用热力学温度 T（K）！

气体的微观解释

• 压强：大量气体分子撞击容器壁的平均效果。p 与分子平均动能和分子数密度有关。
• 温度：分子平均动能的标志。
• 体积：分子能运动到的空间范围。

第十五章 机械振动与机械波

▼

15.1 简谐运动

定义

物体所受的回复力与位移成正比且方向相反的振动。

F = -kx

• k：回复力系数（不一定是弹簧劲度系数）
• 负号表示力与位移方向相反

运动方程

x = A·sin(ωt + φ)

• A：振幅（最大位移）
• ω：角频率，ω = 2π/T = 2πf
• φ：初相位

各量的变化规律

位置	位移 x	速度 v	加速度 a	动能 Ek	势能 Ep
平衡位置	0	最大	0	最大	0
最大位移处	最大	0	最大	0	最大

远离平衡位置：x↑、v↓、a↑、Ek↓、Ep↑

靠近平衡位置：x↓、v↑、a↓、Ek↑、Ep↓

简谐运动的对称性

• 关于平衡位置对称的两点，x、v、a、Ek、Ep 的大小相等
• 经过平衡位置两侧等距离的时间相等
• 一个周期内路程 = 4A
• 半个周期内路程 = 2A
• 四分之一周期内路程不一定等于 A（除非从特殊位置开始）

15.2 单摆与弹簧振子

弹簧振子

T = 2π√(m/k)

• 周期与振幅无关（等时性）
• 周期与质量 m 和劲度系数 k 有关

单摆（小角度摆动，θ < 5°）

T = 2π√(L/g)

• 周期与摆球质量无关
• 周期与振幅（小角度下）无关
• 周期只与摆长 L 和重力加速度 g 有关
• 摆长 L 是悬点到摆球质心的距离

等效重力加速度

在加速的参考系中，g 用等效重力加速度 g' 替代：

g' = |g - a|（矢量差）

• 竖直向上加速：g' = g + a
• 自由落体：g' = 0（T→∞，不振动）
• 在光滑斜面上：g' = gsinθ

15.3 受迫振动与共振

受迫振动

物体在周期性外力（驱动力）作用下的振动。

• 振动频率 = 驱动力的频率 f_驱（与固有频率无关）
• 振幅与 f_驱 和 f_固 的差值有关

共振

当 f_驱 = f_固 时，振幅达到最大。

• 应用：共振筛、共鸣箱
• 防止：军队过桥时便步走，避免桥的共振

15.4 机械波

定义

机械振动在介质中的传播。

• 传播的是振动形式和能量，介质本身不迁移
• 波速由介质决定
• 频率由振源决定

基本公式

v = λ/T = λf

• v：波速（m/s）
• λ：波长（m），相邻两个等相点的距离
• T：周期（s）
• f：频率（Hz）

横波与纵波

类型	特点	例子
横波	振动方向 ⊥ 传播方向	绳波、电磁波
纵波	振动方向 ∥ 传播方向	声波、弹簧纵波

波动图像 vs 振动图像

	波动图像（y-x）	振动图像（y-t）
横轴	位置 x	时间 t
含义	某一时刻各质点的位移	一个质点各时刻的位移
间距	波长 λ	周期 T
传播	图像随时间平移	图像随时间延伸

15.5 波的特性

① 干涉

两列波叠加形成稳定的干涉图样。

相干条件：频率相同、相位差恒定、振动方向相同。

加强点：Δr = |r₁ - r₂| = nλ（n=0,1,2...）

减弱点：Δr = (n+1/2)λ（n=0,1,2...）

② 衍射

波绕过障碍物继续传播的现象。

明显衍射条件：障碍物或孔的尺寸与波长相当或小于波长。

③ 多普勒效应

观察者与波源有相对运动时，接收到的频率发生变化。

• 靠近：接收频率增大
• 远离：接收频率减小

应用：测速仪、天体红移。

第十六章 光学与电磁波

▼

16.1 光的折射

折射定律

n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂

• 入射光线、折射光线、法线在同一平面内
• 入射光线和折射光线分居法线两侧

折射率

n = sinθ₁/sinθ₂ = c/v

• n ≥ 1（真空 n = 1）
• 折射率越大，光速越小，波长越短
• 频率不变（由光源决定）

光的色散

白光经棱镜分解为七色光，因为不同色光的折射率不同：

• 紫光：折射率最大，偏折最厉害
• 红光：折射率最小，偏折最小

n_紫 > n_蓝 > n_绿 > n_黄 > n_橙 > n_红

16.2 全反射

条件

1. 光从光密介质射入光疏介质（n₁ > n₂）
2. 入射角 ≥ 临界角

临界角

sinC = n₂/n₁ = 1/n（光从介质射入真空/空气时）

应用

• 光导纤维（光纤）
• 全反射棱镜
• 海市蜃楼
• 水中的气泡看起来特别亮

16.3 光的干涉

杨氏双缝干涉

单色光通过双缝产生明暗相间的条纹。

条纹间距：Δx = Lλ/d

• L：缝到屏的距离
• d：双缝间距
• λ：光的波长

明暗条纹条件

明纹：光程差 δ = nλ（n=0,±1,±2...）

暗纹：光程差 δ = (n+1/2)λ

白光双缝干涉

中央为白色亮纹，两侧为彩色条纹（紫光靠内，红光靠外）。

薄膜干涉

光在薄膜前后两个表面反射产生的干涉。

• 应用：检查光学元件平整度、增透膜
• 增透膜厚度：d = λ/(4n)（λ为膜中波长）

16.4 光的衍射

单缝衍射

• 中央为宽亮条纹，两侧为明暗相间条纹
• 缝越窄，中央条纹越宽，衍射越明显
• 白光衍射：中央白色，边缘彩色

圆孔衍射

同心圆环（泊松亮斑：不透明圆盘阴影中心有亮斑）。

干涉 vs 衍射

	干涉	衍射
条纹宽度	等宽	中央最宽
条件	相干光	障碍物尺寸与波长相当
本质	波的叠加	波的绕射

16.5 光的偏振

偏振现象证明了光是横波。

• 自然光：振动方向杂乱
• 偏振光：振动方向单一
• 偏振片：只允许特定方向振动的光通过

应用

• 偏振眼镜（减少反光）
• 3D 电影
• 液晶显示

16.6 电磁波

麦克斯韦电磁理论

1. 变化的电场产生磁场
2. 变化的磁场产生电场
3. 均匀变化→恒定，周期性变化→周期性

电磁波的特点

• 横波（E ⊥ B ⊥ 传播方向）
• 真空中传播速度 = 光速
• 不需要介质
• 可以发生反射、折射、干涉、衍射、偏振

c = λf = 3.0×10⁸ m/s

电磁波谱

类型	波长范围	产生方式	主要应用
无线电波	> 1mm	振荡电路	通信、广播
红外线	760nm~1mm	分子热运动	热成像、遥控
可见光	400~760nm	原子外层电子	照明
紫外线	10~400nm	原子外层电子	杀菌、荧光
X射线	0.01~10nm	原子内层电子	医学透视
γ射线	< 0.01nm	原子核	放疗、探伤

电磁波 vs 机械波

	电磁波	机械波
介质	不需要	需要
波速	真空中 c 恒定	由介质决定
类型	横波	横波或纵波
产生	振荡电荷	机械振动

第十七章 原子物理

▼

17.1 原子模型的发展

模型	提出者	内容	局限
枣糕模型	汤姆孙	正电荷均匀分布，电子嵌在其中	无法解释 α 散射实验
核式模型	卢瑟福	原子中心有很小的原子核，集中全部正电荷和几乎全部质量	无法解释原子稳定性
玻尔模型	玻尔	量子化轨道、能级、跃迁	只成功解释氢原子
电子云模型	现代	电子位置用概率描述	—

卢瑟福 α 粒子散射实验

• 绝大多数 α 粒子不偏转
• 少数发生较大偏转
• 极少数被反弹
• → 原子核很小、很重、带正电

原子半径：~10⁻¹⁰ m

原子核半径：~10⁻¹⁵ m（约十万分之一）

17.2 玻尔理论

三个假设

1. 定态假设：原子只能处于一系列不连续的能量状态（定态）
2. 跃迁假设：原子从一个定态跃迁到另一个定态时，辐射或吸收一定频率的光子
3. 轨道量子化：电子轨道半径不连续

氢原子能级

En = E₁/n²（E₁ = -13.6 eV）

rn = n²r₁（r₁ = 0.53×10⁻¹⁰ m）

• E₁ = -13.6 eV（基态）
• E₂ = -3.4 eV（第一激发态）
• E₃ = -1.51 eV
• E_∞ = 0（电离）

跃迁

hν = E_高 - E_低

h = 6.63×10⁻³⁴ J·s（普朗克常量）

辐射光谱

从 n 能级向下跃迁，最多辐射的光谱线条数：

N = C(n,2) = n(n-1)/2

电离

使基态氢原子电离所需的最小能量 = 13.6 eV。

易错：

①光子能量必须精确等于能级差才能被吸收（跃迁）；②电子碰撞时，只要动能 ≥ 能级差即可（多余能量电子保留）。

17.3 光电效应

现象

光照射到金属表面，使金属发射电子的现象。发射的电子叫光电子。

实验规律

1. 存在极限频率 ν₀：只有 ν ≥ ν₀ 时才发生光电效应
2. 光电子的最大初动能与光强无关，只与频率有关
3. 光电效应是瞬时的（< 10⁻⁹ s）
4. 光电流强度（光电子数目）与光强成正比

爱因斯坦光电效应方程

Ek_max = hν - W₀

• hν：光子能量
• W₀：逸出功（金属的特性常数）
• W₀ = hν₀（ν₀ 为极限频率）

遏止电压

eU_c = Ek_max = hν - W₀

U_c 为使光电流为零的反向电压。

光子说 vs 波动说

	波动说	光子说
极限频率	无法解释	hν₀ = W₀
最大初动能	无法解释	Ek = hν - W₀
瞬时性	无法解释	一个光子一次被一个电子吸收

17.4 波粒二象性

光的波粒二象性

• 干涉、衍射、偏振 → 波动性
• 光电效应、康普顿效应 → 粒子性
• 大量光子表现为波动性，个别光子表现为粒子性
• 高频光粒子性强，低频光波动性强

物质波（德布罗意波）

λ = h/p = h/(mv)

一切运动的实物粒子都具有波动性。宏观物体波长极短，波动性不明显。

电子衍射实验

证明了电子具有波动性（戴维孙-革末实验）。

17.5 原子核

原子核的组成

原子核 = 质子 + 中子

质子数 Z = 核电荷数 = 原子序数

质量数 A = Z + N（N为中子数）

表示：^A_Z X

天然放射现象

射线	组成	电荷	穿透力	电离能力	偏转
α射线	⁴₂He	+2e	弱（纸可挡）	强	偏转小
β射线	⁰₋₁e	-e	中（铝板可挡）	中	偏转大
γ射线	光子	0	强（需厚铅板）	弱	不偏转

衰变

α衰变：^A_Z X → ^{A-4}_{Z-2} Y + ⁴₂He

β衰变：^A_Z X → ^A_{Z+1} Y + ⁰₋₁e

• α衰变：质量数减 4，质子数减 2
• β衰变：中子→质子+电子，质量数不变，质子数加 1
• γ射线常伴随 α 或 β 衰变

半衰期

N = N₀·(1/2)^{t/T}

m = m₀·(1/2)^{t/T}

• T：半衰期（一半原子核衰变所需时间）
• 由核内部本身决定，与外界条件（温度、压力、化学状态）无关
• 是统计规律，对少量原子核无意义

17.6 核反应与核能

核反应类型

类型	特点	例子
衰变	自发	²³⁸U → ²³⁴Th + ⁴He
人工转变	用粒子轰击	¹⁴N + ⁴He → ¹⁷O + ¹H（发现质子）
裂变	重核分裂	²³⁵U + ¹n → ¹⁴¹Ba + ⁹²Kr + 3¹n
聚变	轻核结合	²H + ³H → ⁴He + ¹n

质能方程

E = mc²

ΔE = Δm·c²

• 质量亏损：反应前后总质量之差 Δm
• Δm > 0 时释放能量
• 1u 对应 931.5 MeV

比结合能

核子结合成原子核时，每个核子平均释放的能量（= 结合能/核子数）。

• 比结合能越大，原子核越稳定
• 中等质量核的比结合能最大（铁附近）
• 裂变和聚变都使比结合能增大，释放能量

核裂变

• 链式反应：裂变产生的中子引发更多裂变
• 临界体积：维持链式反应的最小体积
• 应用：原子弹、核电站（可控链式反应）

核聚变

• 需要极高温度（热核反应）
• 单位质量释放能量比裂变大
• 应用：氢弹、太阳能量来源、可控核聚变（"人造太阳"）

附录：实验方法与物理常数

▼

常用物理常数

常量	符号	数值
重力加速度	g	9.8 m/s²（常取 10）
万有引力常量	G	6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²
静电力常量	k	9.0×10⁹ N·m²/C²
元电荷	e	1.6×10⁻¹⁹ C
电子质量	m_e	9.11×10⁻³¹ kg
质子质量	m_p	1.67×10⁻²⁷ kg
阿伏伽德罗常数	N_A	6.02×10²³ /mol
普朗克常量	h	6.63×10⁻³⁴ J·s
光速	c	3.0×10⁸ m/s
地球质量	M	5.98×10²⁴ kg
地球半径	R	6.4×10⁶ m
日地距离	r	1.5×10¹¹ m
1 eV	—	1.6×10⁻¹⁹ J
原子质量单位	u	1.66×10⁻²⁷ kg = 931.5 MeV/c²

常用物理方法

方法	应用
控制变量法	探究 a 与 F、m 的关系
等效替代法	合力、合运动、等效电路
理想模型法	质点、点电荷、光滑面
放大法	卡文迪许扭秤、光杠杆
转换测量法	用电压表测电动势
累积法	测多个周期求平均周期
图像法	用图像求斜率、面积
类比法	电场与重力场类比

高考常考实验

力学实验

1. 研究匀变速直线运动：打点计时器，逐差法求 a
2. 探究弹力和弹簧伸长的关系：F = kx
3. 验证力的平行四边形定则：等效替代法
4. 探究加速度与力、质量的关系：控制变量法，补偿阻力
5. 验证机械能守恒定律：自由落体，纸带分析
6. 验证动量守恒定律：碰撞实验
7. 探究平抛运动的特点：描迹法

电学实验

1. 测定金属的电阻率：伏安法测电阻
2. 描绘小灯泡的伏安特性曲线：分压接法
3. 测定电源的电动势和内阻：U-I 图像法
4. 练习使用多用电表：欧姆表的使用
5. 电表的改装：分流、分压
6. 传感器的简单应用：热敏电阻、光敏电阻

光学与热学实验

1. 用双缝干涉测光的波长：Δx = Lλ/d
2. 测定玻璃的折射率：插针法
3. 用单摆测重力加速度：T = 2π√(L/g)
4. 用油膜法估测分子大小：d = V/S
5. 验证玻意耳定律：注射器实验

误差分析与数据处理

误差类型

类型	特点	减小方法
系统误差	偏向一侧，重复测量不变	改进实验方法、校准仪器
偶然误差	忽大忽小，服从统计规律	多次测量取平均值

有效数字

• 从左边第一个非零数字起，到最后一位
• 加减法：结果的小数位数与最少的相同
• 乘除法：结果的有效数字位数与最少的相同

图像处理

• 描点连线：尽量让更多的点落在直线上，两侧均匀分布
• 斜率意义：注意坐标轴物理量和单位
• 截距意义：如 U-I 图像的截距为电动势和内阻
• 化曲为直：通过变量替换将曲线图像变为直线

应试技巧：

① 物理计算题必须有公式、代入数据、结果、单位

② 矢量要说明方向

③ 画图题要有必要的标注

④ 选择题注意排除法、特殊值法、量纲法

⑤ 大题不会做也要写出相关公式，争取步骤分